Номер 2.55, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.55. Докажите, что данные равенства не являются тождествами:

a) $(a-b)^3 = (b-a)^3$;

б) $b^2 + 2 = (b+2)^2$;

в) $(x+3)2 + x = x + 3(2+x).$

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести один контрпример, то есть найти такие значения переменных, при которых равенство не выполняется.

а) $(a-b)^3 = (b-a)^3$
Чтобы доказать, что данное равенство не является тождеством, найдем пару значений переменных $a$ и $b$, при которых оно неверно.
Возьмем в качестве контрпримера $a=2$ и $b=1$.
Подставим эти значения в левую часть равенства (ЛЧ):
$ЛЧ = (2-1)^3 = 1^3 = 1$
Подставим эти же значения в правую часть равенства (ПЧ):
$ПЧ = (1-2)^3 = (-1)^3 = -1$
Так как $ЛЧ \neq ПЧ$ ($1 \neq -1$), равенство не выполняется.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как, например, при $a=2$ и $b=1$ оно превращается в неверное числовое равенство $1 = -1$.

б) $b^2 + 2 = (b+2)^2$
Чтобы доказать, что данное равенство не является тождеством, найдем значение переменной $b$, при котором оно неверно.
Возьмем в качестве контрпримера $b=1$.
Подставим это значение в левую часть равенства (ЛЧ):
$ЛЧ = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$
Подставим это же значение в правую часть равенства (ПЧ), используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:
$ПЧ = (1+2)^2 = 3^2 = 9$
Так как $ЛЧ \neq ПЧ$ ($3 \neq 9$), равенство не выполняется.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как, например, при $b=1$ оно превращается в неверное числовое равенство $3 = 9$.

в) $(x+3)2 + x = x + 3(2+x)$
Чтобы доказать, что данное равенство не является тождеством, найдем значение переменной $x$, при котором оно неверно.
Возьмем в качестве контрпримера $x=1$.
Подставим это значение в левую часть равенства (ЛЧ):
$ЛЧ = (1+3) \cdot 2 + 1 = 4 \cdot 2 + 1 = 8 + 1 = 9$
Подставим это же значение в правую часть равенства (ПЧ):
$ПЧ = 1 + 3(2+1) = 1 + 3 \cdot 3 = 1 + 9 = 10$
Так как $ЛЧ \neq ПЧ$ ($9 \neq 10$), равенство не выполняется.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как, например, при $x=1$ оно превращается в неверное числовое равенство $9 = 10$.