Номер 2.54, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.54. Какие из равенств являются тождествами;

а) $0 \cdot a = a - a$;

б) $(a + b)^2 = (b + a)^2$;

В) $a^5 \cdot a^{10} = (a^3)^5$;

Г) $a^3 - a^2 = a?$;

Тождество — это равенство, которое остаётся верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Проанализируем каждое равенство.

а) $0 \cdot a = a - a$

Выполним преобразования в обеих частях равенства.
В левой части: $0 \cdot a = 0$ (согласно свойству умножения на ноль).
В правой части: $a - a = 0$ (разность одинаковых выражений равна нулю).
В результате получаем верное равенство $0 = 0$, которое справедливо для любого значения переменной $a$.
Ответ: данное равенство является тождеством.

б) $(a + b)^2 = (b + a)^2$

Это равенство основано на переместительном (коммутативном) свойстве сложения, согласно которому $a + b = b + a$.
Поскольку выражения, стоящие в скобках, тождественно равны, то и результаты возведения их в квадрат также будут равны при любых значениях переменных $a$ и $b$.
Ответ: данное равенство является тождеством.

в) $a^5 \cdot a^{10} = (a^3)^5$

Упростим обе части равенства, используя свойства степеней.
Левая часть (правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$): $a^5 \cdot a^{10} = a^{5+10} = a^{15}$.
Правая часть (правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$): $(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$.
В результате получаем верное равенство $a^{15} = a^{15}$, которое справедливо для любого значения $a$.
Ответ: данное равенство является тождеством.

г) $a^3 - a^2 = a$

Чтобы проверить, является ли равенство тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором оно не выполняется. Возьмем, к примеру, $a = 2$.
Подставим это значение в левую часть: $2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
Правая часть при $a = 2$ равна $2$.
Получаем неверное равенство $4 \neq 2$.
Ответ: данное равенство не является тождеством.