Номер 3.101, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.101. Можно ли разменять 1 р. на монеты по 5 к. и 2 к. так, чтобы всего было:

а) 32 монеты;

б) 27 монет?

Для решения задачи необходимо составить и решить систему уравнений. Переведем 1 рубль в копейки: $1 \text{ р.} = 100 \text{ к.}$

Пусть $x$ — количество монет номиналом 5 копеек, а $y$ — количество монет номиналом 2 копейки. Тогда общая сумма денег в копейках выражается уравнением: $5x + 2y = 100$.

Общее количество монет равно $x + y$. Рассмотрим каждый подпункт.

По условию, общее количество монет равно 32, что дает нам второе уравнение: $x + y = 32$. Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 100 \\ x + y = 32 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 32 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x + 2(32 - x) = 100$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x + 64 - 2x = 100$

$3x = 100 - 64$

$3x = 36$

$x = \frac{36}{3} = 12$

Мы нашли количество 5-копеечных монет: $x = 12$. Теперь найдем количество 2-копеечных монет:

$y = 32 - 12 = 20$

Так как $x=12$ и $y=20$ являются целыми положительными числами, такой размен возможен.

Ответ: Да, можно. Нужно взять 12 монет по 5 копеек и 20 монет по 2 копейки. Целая часть, полученная при решении для $x$ из дроби $\frac{36}{3}$, равна 12.

По условию, общее количество монет равно 27: $x + y = 27$. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 100 \\ x + y = 27 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 27 - x$. Подставим в первое уравнение:

$5x + 2(27 - x) = 100$

$5x + 54 - 2x = 100$

$3x = 100 - 54$

$3x = 46$

$x = \frac{46}{3}$

Так как количество монет $x$ должно быть целым числом, а $\frac{46}{3}$ не является целым числом ($46$ не делится нацело на $3$), то такой размен осуществить невозможно.

Ответ: Нет, нельзя, так как количество монет не может быть дробным числом. В результате решения для $x$ получается неправильная дробь $\frac{46}{3}$, целая часть которой равна 15.