Номер 3.103, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.103*. Заболевшего программиста заменили два стажера. Одному из них на выполнение всей работы нужно в 3 раза больше времени, чем программисту, а другому — в 2 раза больше. За сколько часов программист сделал бы всю работу, если два стажера, работая вместе, выполнили ее за 6 ч?

Для решения этой задачи примем весь объем работы за 1 (единицу) и будем использовать понятие производительности (скорость выполнения работы).

1. Пусть $x$ — это время в часах, которое требуется программисту для выполнения всей работы. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $P_п = \frac{1}{x}$.

2. Первому стажеру нужно в 3 раза больше времени, чем программисту. Следовательно, его время — $3x$ часов, а производительность — $P_1 = \frac{1}{3x}$.

3. Второму стажеру нужно в 2 раза больше времени, чем программисту. Его время — $2x$ часов, а производительность — $P_2 = \frac{1}{2x}$.

4. Когда стажеры работают вместе, их производительности складываются. Найдем их совместную производительность $P_{совм}$:
$P_{совм} = P_1 + P_2 = \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x}$
Приведем дроби к общему знаменателю $6x$:
$P_{совм} = \frac{2}{6x} + \frac{3}{6x} = \frac{5}{6x}$

5. По условию, работая вместе, стажеры выполнили всю работу (1) за 6 часов. Используя формулу $Работа = Производительность \times Время$, составим уравнение:
$1 = P_{совм} \times 6$
$1 = \frac{5}{6x} \times 6$

6. Решим уравнение относительно $x$:
$1 = \frac{30}{6x}$
Упростим дробь:
$1 = \frac{5}{x}$
Из этого уравнения находим $x$:
$x = 5$

Следовательно, программист выполнил бы всю работу за 5 часов.

Ответ: 5