Номер 3.109, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.109*. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если цифру 2 перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первого. Найдите первоначальное число.

Составьте математическую модель для решения задачи и найдите ответ в соответствии с требованием задачи.

Составьте математическую модель для решения задачи

Пусть искомое шестизначное число — это $N$. По условию задачи, его первая цифра — 2. Обозначим число, которое образуют остальные пять цифр, переменной $x$. Тогда первоначальное число $N$ можно записать в следующем виде:$$ N = 2 \cdot 10^5 + x = 200000 + x $$где $x$ — это целое число в диапазоне от $0$ до $99999$.

Новое число, которое мы обозначим как $M$, получается, когда цифру 2 переносят с первого места в конец. В этом случае $x$ становится числом, образующим первые пять цифр, а последней цифрой становится 2. Таким образом, новое число $M$ можно представить как:$$ M = x \cdot 10 + 2 $$

Согласно условию, новое число $M$ втрое больше первоначального числа $N$:$$ M = 3N $$

Подставив выражения для $N$ и $M$ в это равенство, мы получим уравнение, которое и является математической моделью для решения данной задачи:$$ 10x + 2 = 3(200000 + x) $$

Ответ: Математическая модель задачи — это уравнение $10x + 2 = 3(200000 + x)$, где $x$ — это целое число, образованное последними пятью цифрами искомого числа.

Найдите ответ в соответствии с требованием задачи

Для нахождения первоначального числа необходимо решить составленное уравнение относительно $x$:$$ 10x + 2 = 3(200000 + x) $$Раскроем скобки в правой части уравнения:$$ 10x + 2 = 600000 + 3x $$Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой:$$ 10x - 3x = 600000 - 2 $$$$ 7x = 599998 $$Теперь найдем $x$:$$ x = \frac{599998}{7} $$

Мы получили неправильную дробь. Чтобы найти значение $x$, необходимо выполнить деление и выделить целую часть.$$ 599998 \div 7 = 85714 $$Деление выполняется без остатка, поэтому $x$ является целым числом.$$ x = 85714 $$Найденное значение $x$ является пятизначным числом, что не противоречит нашему первоначальному предположению.

Теперь мы можем найти первоначальное число $N$, подставив значение $x$ в формулу для $N$:$$ N = 200000 + x = 200000 + 85714 = 285714 $$

Для проверки правильности решения убедимся, что условие задачи выполняется.

• Первоначальное число: $N = 285714$.
• Новое число (с цифрой 2 в конце): $M = 857142$.
• Проверим, равно ли $M$ утроенному $N$: $3 \times 285714 = 857142$.

Так как $857142 = 857142$, условие выполняется, и решение найдено верно.

Ответ: Первоначальное число равно 285714.