Номер 3.102, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.102*. Первая труба наполняет бассейн за 50 % того времени, за которое вторая труба наполняет $2 \over 3$ этого бассейна. Вторая труба наполняет бассейн на 5 ч дольше первой. За сколько часов наполняет бассейн каждая труба?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $t_1$ — время (в часах), за которое первая труба полностью наполняет бассейн.
• Пусть $t_2$ — время (в часах), за которое вторая труба полностью наполняет бассейн.

На основе условий задачи составим систему уравнений.

1. "Вторая труба наполняет бассейн на 5 ч дольше первой."

Это условие можно записать в виде следующего уравнения:

$t_2 = t_1 + 5$

2. "Первая труба наполняет бассейн за 50% того времени, за которое вторая труба наполняет $\frac{2}{3}$ этого бассейна."

Сначала определим время, которое требуется второй трубе, чтобы наполнить $\frac{2}{3}$ бассейна. Если весь бассейн она наполняет за $t_2$ часов, то $\frac{2}{3}$ бассейна она наполнит за:

Время для $\frac{2}{3}$ бассейна = $\frac{2}{3} \cdot t_2$

Далее, найдем 50% от этого времени. 50% — это то же самое, что и $\frac{1}{2}$ или 0.5.

$50\% \text{ от } \left(\frac{2}{3} t_2\right) = 0.5 \cdot \frac{2}{3} t_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t_2 = \frac{1}{3} t_2$

По условию, это время равно времени, за которое первая труба наполняет весь бассейн, то есть $t_1$. Таким образом, получаем второе уравнение:

$t_1 = \frac{1}{3} t_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases} t_2 = t_1 + 5 \\ t_1 = \frac{1}{3} t_2\end{cases}$$

Для решения системы подставим выражение для $t_1$ из второго уравнения в первое:

$t_2 = \left(\frac{1}{3} t_2\right) + 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t_2$:

$t_2 - \frac{1}{3} t_2 = 5$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{3t_2 - t_2}{3} = 5$

$\frac{2}{3} t_2 = 5$

Чтобы найти $t_2$, умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$t_2 = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$

Теперь, зная $t_2$, найдем $t_1$ из второго уравнения системы:

$t_1 = \frac{1}{3} t_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{2} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Таким образом, мы нашли время, за которое каждая труба наполняет бассейн.

Первая труба наполняет бассейн за $\frac{5}{2}$ часа. Ответ: $2\frac{1}{2}$ часа.

Вторая труба наполняет бассейн за $\frac{15}{2}$ часа. Ответ: $7\frac{1}{2}$ часа.