Номер 3.104, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.104*. Автобус прошел $\frac{3}{4}$ пути со скоростью $60 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$, а затем задержался на 2 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, оставшуюся часть пути он шел со скоростью $70 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$. Найдите путь, пройденный автобусом.

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение, исходя из того, что время, сэкономленное за счет увеличения скорости на последнем участке пути, равно времени задержки. Это позволит автобусу прибыть в конечный пункт вовремя.

Пусть $S$ (в км) — это весь путь, который проехал автобус.
Первая часть пути составляет $\frac{3}{4}S$, и автобус проехал ее со скоростью $v_1 = 60$ км/ч.
Оставшаяся часть пути составляет $S - \frac{3}{4}S = \frac{1}{4}S$.

Задержка составила 2 минуты. Переведем это время в часы, так как скорость дана в км/ч:

$t_{задержки} = 2 \text{ мин} = \frac{2}{60} \text{ ч} = \frac{1}{30} \text{ ч}$.

Чтобы прибыть вовремя, автобус должен был компенсировать эту задержку. Это означает, что он должен был проехать оставшийся участок пути быстрее, чем планировалось. Можно предположить, что плановая скорость на втором участке была такой же, как на первом, то есть 60 км/ч.

Время, которое было бы потрачено на второй участок при плановой скорости 60 км/ч:

$t_{план} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} = \frac{\frac{1}{4}S}{60} = \frac{S}{240}$ часов.

Фактическое время, потраченное на второй участок при скорости 70 км/ч:

$t_{факт} = \frac{\frac{1}{4}S}{70} = \frac{S}{280}$ часов.

Разница между плановым и фактическим временем как раз и есть сэкономленное время, которое равно времени задержки. Составим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = t_{задержки}$

$\frac{S}{240} - \frac{S}{280} = \frac{1}{30}$

Решим это уравнение относительно $S$. Вынесем $S$ за скобки:

$S \left( \frac{1}{240} - \frac{1}{280} \right) = \frac{1}{30}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 240 и 280 равно 1680:

$S \left( \frac{7}{1680} - \frac{6}{1680} \right) = \frac{1}{30}$

$S \cdot \frac{1}{1680} = \frac{1}{30}$

Теперь выразим $S$:

$S = \frac{1680}{30} = 56$ км.

Найдите путь, пройденный автобусом.
Ответ: 56 км.