Номер 3.116, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.116. Расстояние между городами поезд проходит за 3 ч 15 мин. Если скорость поезда увеличится на $15 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$, то это расстояние он пройдет за 2 ч 30 мин. Найдите расстояние между городами.

1. Ввод переменных и перевод единиц измерения.
Пусть $S$ (в км) — искомое расстояние между городами, а $v$ (в км/ч) — первоначальная скорость поезда.
Согласно условию, новая скорость поезда равна $v + 15$ км/ч.
Переведем время в пути в часы для удобства расчетов:
Первоначальное время: $t_1 = 3 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 3 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 3\frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{13}{4} \text{ ч}$.
Новое время: $t_2 = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 2\frac{1}{2} \text{ ч} = \frac{5}{2} \text{ ч}$.

2. Составление и решение уравнения.
Расстояние вычисляется по формуле $S = \text{скорость} \times \text{время}$.
Для первого случая: $S = v \cdot \frac{13}{4}$.
Для второго случая: $S = (v + 15) \cdot \frac{5}{2}$.
Поскольку расстояние в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:
$v \cdot \frac{13}{4} = (v + 15) \cdot \frac{5}{2}$
Решим это уравнение, чтобы найти первоначальную скорость $v$. Для этого умножим обе части уравнения на 4:
$13v = 2 \cdot 5 \cdot (v + 15)$
$13v = 10(v + 15)$
$13v = 10v + 150$
$13v - 10v = 150$
$3v = 150$
$v = 50$ км/ч.

Найдите расстояние между городами.
Теперь, зная первоначальную скорость ($v=50$ км/ч), мы можем вычислить расстояние $S$, подставив это значение в любое из исходных выражений для расстояния. Возьмем первое:
$S = 50 \cdot \frac{13}{4} = \frac{650}{4} = \frac{325}{2}$ км.
Чтобы выполнить требование "выделена целая часть из неправильной дроби", преобразуем неправильную дробь $\frac{325}{2}$ в смешанное число:
$325 \div 2 = 162$ с остатком 1.
Таким образом, $S = 162\frac{1}{2}$ км.
Ответ: 162$\frac{1}{2}$ км.