Номер 3.117, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.117. Два спортсмена бегут с одинаковой скоростью. Если первый из них уменьшит скорость на $1 \frac{\text{КМ}}{\text{Ч}}$, а второй увеличит на $1 \frac{\text{КМ}}{\text{Ч}}$, то первый спортсмен за 2 ч пробежит на 7 км больше, чем второй за 1 ч. С какой скоростью бегут спортсмены?

Пусть $v$ км/ч — первоначальная одинаковая скорость каждого спортсмена.

Согласно условию задачи, первый спортсмен уменьшил свою скорость на $1 \frac{1}{4}$ км/ч, а второй увеличил свою скорость на $1 \frac{1}{4}$ км/ч. Таким образом, новые скорости спортсменов равны:

• Скорость первого спортсмена: $v_1 = (v - 1 \frac{1}{4})$ км/ч.
• Скорость второго спортсмена: $v_2 = (v + 1 \frac{1}{4})$ км/ч.

Теперь найдем расстояние ($S$), которое пробежал каждый из них, используя формулу $S = \text{скорость} \times \text{время}$.

• Первый спортсмен бежал 2 часа, поэтому он пробежал расстояние: $S_1 = 2 \cdot (v - 1 \frac{1}{4})$ км.
• Второй спортсмен бежал 1 час, поэтому он пробежал расстояние: $S_2 = 1 \cdot (v + 1 \frac{1}{4})$ км.

Известно, что первый спортсмен пробежал на 7 км больше, чем второй. На основе этого составим уравнение: $S_1 = S_2 + 7$

Подставим в уравнение выражения для расстояний: $2 \cdot (v - 1 \frac{1}{4}) = (v + 1 \frac{1}{4}) + 7$

Для решения уравнения преобразуем смешанную дробь $1 \frac{1}{4}$ в неправильную: $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. $2 \cdot (v - \frac{5}{4}) = (v + \frac{5}{4}) + 7$

Раскроем скобки: $2v - 2 \cdot \frac{5}{4} = v + \frac{5}{4} + 7$ $2v - \frac{10}{4} = v + \frac{5}{4} + 7$

Перенесем все слагаемые с переменной $v$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую: $2v - v = \frac{10}{4} + \frac{5}{4} + 7$ $v = \frac{15}{4} + 7$

Представим число 7 в виде дроби со знаменателем 4: $7 = \frac{28}{4}$. $v = \frac{15}{4} + \frac{28}{4}$ $v = \frac{15 + 28}{4}$ $v = \frac{43}{4}$

Чтобы найти окончательный ответ, преобразуем неправильную дробь $\frac{43}{4}$ в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком: $43 \div 4 = 10$ (остаток $3$). Значит, $v = 10 \frac{3}{4}$ км/ч.

С какой скоростью бегут спортсмены?
Ответ: 10$\frac{3}{4}$ км/ч.