Номер 1.281, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.281. В школьной столовой на завтрак предлагаются горячие бутерброды и хот-доги. Каждый посетитель столовой может выбрать или хот-дог, или горячий бутерброд, или и то и другое вместе. Известно, что 68 человек выбрали хот-доги, 35 человек выбрали горячие бутерброды, а 18 человек выбрали и то и другое. Сколько человек завтракали в школьной столовой?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество уникальных посетителей столовой. Мы можем использовать данные о выборе блюд и принцип включения-исключения для множеств.

Пусть:

• $Х$ – множество всех людей, выбравших хот-доги. По условию, $|Х| = 68$.
• $Б$ – множество всех людей, выбравших горячие бутерброды. По условию, $|Б| = 35$.
• $Х \cap Б$ – множество людей, выбравших и хот-дог, и бутерброд (пересечение множеств). По условию, $|Х \cap Б| = 18$.

Чтобы найти общее количество человек, завтракавших в столовой (то есть тех, кто выбрал хотя бы одно блюдо), нужно найти мощность объединения множеств $Х$ и $Б$, то есть $|Х \cup Б|$.

Способ 1: Использование формулы включений-исключений

Формула для объединения двух множеств выглядит следующим образом:

$|Х \cup Б| = |Х| + |Б| - |Х \cap Б|$

Если просто сложить количество людей, выбравших хот-доги, и количество людей, выбравших бутерброды, то те, кто выбрал оба блюда, будут посчитаны дважды. Поэтому мы вычитаем их количество один раз.

Подставим известные значения в формулу:

$|Х \cup Б| = 68 + 35 - 18 = 103 - 18 = 85$

Способ 2: Логический расчет по частям

Можно разбить всех посетителей на три непересекающиеся группы:

1. Только хот-доги: Чтобы найти это количество, нужно из всех, кто выбрал хот-доги, вычесть тех, кто выбрал еще и бутерброд.

   $68 - 18 = 50$ человек.

2. Только горячие бутерброды: Аналогично, из всех, кто выбрал бутерброды, вычтем тех, кто выбрал еще и хот-дог.

   $35 - 18 = 17$ человек.

3. И хот-доги, и горячие бутерброды: Это количество нам дано в условии — $18$ человек.

Теперь сложим количество людей из этих трех уникальных групп, чтобы получить общее число завтракавших:

$50 \text{ (только хот-доги)} + 17 \text{ (только бутерброды)} + 18 \text{ (и то, и другое)} = 85$ человек.

Оба способа дают одинаковый результат.

Сколько человек завтракали в школьной столовой? Ответ: 85