Номер 1056, страница 238 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1056. Определите отношение радиусов траекторий двух протонов, скорости которых направлены перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля, если кинетические энергии протонов равны $E_{\text{к}1}$ и $E_{\text{к}2}$.

Дано:

Два протона (масса $m_p$, заряд $q_p$)

Однородное магнитное поле с индукцией $B$

Скорости протонов перпендикулярны линиям магнитной индукции ($\vec{v} \perp \vec{B}$)

Кинетическая энергия первого протона: $E_{к1}$

Кинетическая энергия второго протона: $E_{к2}$

Найти:

Отношение радиусов траекторий $\frac{R_1}{R_2}$

Решение:

Когда протон, имеющий заряд $q_p$ и массу $m_p$, движется со скоростью $v$ перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля $B$, на него действует сила Лоренца $F_Л$. Эта сила перпендикулярна скорости и сообщает протону центростремительное ускорение, заставляя его двигаться по окружности. Величина силы Лоренца в данном случае равна:

$F_Л = q_p v B$

Эта сила является центростремительной силой $F_ц$, которая определяется по второму закону Ньютона:

$F_ц = \frac{m_p v^2}{R}$

где $R$ – радиус траектории.

Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы:

$q_p v B = \frac{m_p v^2}{R}$

Выразим радиус траектории $R$:

$R = \frac{m_p v}{q_p B}$

Кинетическая энергия протона $E_к$ связана со скоростью $v$ соотношением:

$E_к = \frac{m_p v^2}{2}$

Отсюда выразим скорость протона:

$v = \sqrt{\frac{2E_к}{m_p}}$

Подставим выражение для скорости в формулу для радиуса:

$R = \frac{m_p}{q_p B} \sqrt{\frac{2E_к}{m_p}} = \frac{\sqrt{m_p^2}}{q_p B} \sqrt{\frac{2E_к}{m_p}} = \frac{\sqrt{2 m_p E_к}}{q_p B}$

Теперь запишем выражения для радиусов траекторий первого и второго протонов. Так как оба протона имеют одинаковую массу $m_p$ и заряд $q_p$ и движутся в одном и том же магнитном поле $B$, то:

$R_1 = \frac{\sqrt{2 m_p E_{к1}}}{q_p B}$

$R_2 = \frac{\sqrt{2 m_p E_{к2}}}{q_p B}$

Найдем отношение радиусов $R_1$ и $R_2$:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{\sqrt{2 m_p E_{к1}}}{q_p B}}{\frac{\sqrt{2 m_p E_{к2}}}{q_p B}} = \frac{\sqrt{2 m_p E_{к1}}}{\sqrt{2 m_p E_{к2}}} = \frac{\sqrt{E_{к1}}}{\sqrt{E_{к2}}} = \sqrt{\frac{E_{к1}}{E_{к2}}}$

Ответ: Отношение радиусов траекторий двух протонов равно корню квадратному из отношения их кинетических энергий: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{E_{к1}}{E_{к2}}}$.