Номер 1063, страница 239 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1063. Электрон движется по окружности радиусом $R = 1,0 \text{ мм}$ в однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 3,0 \text{ мТл}$. Определите модуль импульса и кинетическую энергию электрона.

Дано:

Радиус окружности, $R = 1,0 \text{ мм} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
Модуль индукции магнитного поля, $B = 3,0 \text{ мТл} = 3,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$
Заряд электрона (элементарный заряд), $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Масса электрона, $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Найти:

$p$ - модуль импульса электрона
$E_k$ - кинетическую энергию электрона

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F_Л$. Поскольку траектория движения — окружность, это означает, что вектор скорости электрона $\vec{v}$ перпендикулярен вектору магнитной индукции $\vec{B}$. В этом случае модуль силы Лоренца вычисляется по формуле:

$F_Л = e v B$

Эта сила является центростремительной, она удерживает электрон на круговой орбите. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_{цс}$ равна:

$F_{цс} = \frac{m_e v^2}{R}$

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

$e v B = \frac{m_e v^2}{R}$

Модуль импульса электрона определяется как $p = m_e v$. Мы можем выразить его из полученного уравнения. Для этого сначала сократим обе части уравнения на скорость $v$ (поскольку $v \neq 0$):

$e B = \frac{m_e v}{R}$

Заменяя произведение $m_e v$ на импульс $p$, получаем:

$e B = \frac{p}{R}$

Отсюда выражаем модуль импульса:

$p = e B R$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$p = (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (3,0 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot (1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}) = 4,8 \cdot 10^{-25} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Теперь определим кинетическую энергию электрона. Она связана с импульсом и массой следующим соотношением:

$E_k = \frac{p^2}{2m_e}$

Подставим в эту формулу найденное значение импульса и массу электрона:

$E_k = \frac{(4,8 \cdot 10^{-25} \text{ кг} \cdot \text{м/с})^2}{2 \cdot (9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг})} = \frac{23,04 \cdot 10^{-50}}{18,2 \cdot 10^{-31}} \text{ Дж} \approx 1,266 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Исходные данные в задаче даны с двумя значащими цифрами, поэтому и ответ следует округлить до двух значащих цифр:

$E_k \approx 1,3 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Ответ:

Модуль импульса электрона $p = 4,8 \cdot 10^{-25} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$;
Кинетическая энергия электрона $E_k \approx 1,3 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$.