Номер 1067, страница 240 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1067. Пучок протонов влетает в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 0,20$ Тл, перпендикулярно линиям индукции. В магнитном поле все протоны движутся по дуге окружности радиусом $R = 10$ см, попадают на закрепленную заземленную пластинку и поглощаются ею. Определите тепловую мощность, выделяющуюся в пластинке, если сила тока в пучке $I = 50$ мкА.

Дано:

Модуль индукции магнитного поля $B = 0,20$ Тл

Радиус дуги окружности $R = 10$ см

Сила тока в пучке $I = 50$ мкА

Заряд протона $q_p = e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса протона $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг

Перевод в систему СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0,1$ м

$I = 50 \text{ мкА} = 50 \cdot 10^{-6}$ А

Найти:

Тепловую мощность $P$

Решение:

Тепловая мощность, выделяющаяся в пластинке, равна полной кинетической энергии всех протонов, поглощаемых пластинкой за единицу времени.

Мощность $P$ можно выразить как произведение полной кинетической энергии протонов $W_{total}$, попавших на пластинку за время $\Delta t$, к этому промежутку времени:

$P = \frac{W_{total}}{\Delta t}$

Полная кинетическая энергия $W_{total}$ равна произведению числа протонов $N$, попавших на пластинку, на кинетическую энергию одного протона $W_k$:

$W_{total} = N \cdot W_k = N \cdot \frac{m_p v^2}{2}$

где $m_p$ — масса протона, а $v$ — его скорость.

Таким образом, мощность равна:

$P = \frac{N}{\Delta t} \cdot \frac{m_p v^2}{2}$

Сила тока в пучке определяется как полный заряд, проходящий через поперечное сечение пучка за единицу времени. Полный заряд $Q$, переносимый $N$ протонами, равен $Q = N \cdot q_p$. Тогда сила тока:

$I = \frac{Q}{\Delta t} = \frac{N \cdot q_p}{\Delta t}$

Отсюда можно выразить число протонов, попадающих на пластинку в единицу времени:

$\frac{N}{\Delta t} = \frac{I}{q_p}$

Подставим это выражение в формулу для мощности:

$P = \frac{I}{q_p} \cdot \frac{m_p v^2}{2}$

Скорость протонов $v$ можно найти из условия их движения в магнитном поле. На протон действует сила Лоренца $F_Л$, которая перпендикулярна скорости и заставляет его двигаться по окружности. Эта сила является центростремительной силой $F_ц$.

$F_Л = q_p v B$

$F_ц = \frac{m_p v^2}{R}$

Приравнивая эти силы, получаем:

$q_p v B = \frac{m_p v^2}{R}$

Отсюда выражаем скорость $v$:

$v = \frac{q_p B R}{m_p}$

Теперь подставим выражение для скорости в формулу для мощности:

$P = \frac{I}{q_p} \cdot \frac{m_p}{2} \cdot \left(\frac{q_p B R}{m_p}\right)^2 = \frac{I}{q_p} \cdot \frac{m_p}{2} \cdot \frac{q_p^2 B^2 R^2}{m_p^2} = \frac{I q_p B^2 R^2}{2 m_p}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$P = \frac{(50 \cdot 10^{-6} \text{ А}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (0,20 \text{ Тл})^2 \cdot (0,1 \text{ м})^2}{2 \cdot (1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг})}$

$P = \frac{50 \cdot 10^{-6} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,04 \cdot 0,01}{3,34 \cdot 10^{-27}} \text{ Вт}$

$P = \frac{3,2 \cdot 10^{-27}}{3,34 \cdot 10^{-27}} \text{ Вт} \approx 0,958$ Вт

Округляя до двух значащих цифр, получаем $P \approx 0,96$ Вт.

Ответ: $P \approx 0,96$ Вт.