Номер 1066, страница 240 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1066. Два иона с одинаковыми массами, вылетевшие одновременно из точки $O$ (рис. 247), равномерно двигались по окружностям под действием однородного магнитного поля, линии индукции которого перпендикулярны скорости движения ионов. На рисунке показаны траектории ионов, по которым они двигались в течение одинакового промежутка времени. Заряд первого иона $q_1 = 3,2 \cdot 10^{-19}\text{ Кл}$. Определите модуль заряда второго иона. Силой тяжести, действующей на ионы, и их взаимодействием пренебречь.

Рис. 247

Дано:

$m_1 = m_2 = m$

$t_1 = t_2 = t$ (время движения одинаково)

$q_1 = 3.2 \cdot 10^{-19}$ Кл

$\vec{v} \perp \vec{B}$

Найти:

$|q_2|$ — ?

Решение:

На заряженный ион, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Поскольку вектор скорости иона перпендикулярен вектору магнитной индукции, эта сила является центростремительной и заставляет ион двигаться по окружности. Модуль силы Лоренца равен:

$F_Л = |q|vB$

Центростремительная сила, действующая на ион, равна:

$F_{цс} = \frac{mv^2}{R}$

Приравнивая эти две силы, получаем второй закон Ньютона для иона:

$|q|vB = \frac{mv^2}{R}$

Период обращения $T$ — это время, за которое ион совершает один полный оборот. Его можно найти как отношение длины окружности $2\pi R$ к линейной скорости $v$:

$T = \frac{2\pi R}{v}$

Из уравнения сил выразим скорость $v = \frac{|q|BR}{m}$ и подставим в формулу для периода:

$T = \frac{2\pi R}{\frac{|q|BR}{m}} = \frac{2\pi m}{|q|B}$

Из рисунка видно, что за одинаковый промежуток времени $t$ первый ион (траектория 1) проходит дугу, равную четверти окружности ($1/4$ оборота), а второй ион (траектория 2) проходит дугу, равную половине окружности ($1/2$ оборота).

Таким образом, время движения $t$ для каждого иона можно выразить через его период обращения:

$t = \frac{T_1}{4}$ для первого иона.

$t = \frac{T_2}{2}$ для второго иона.

Поскольку время движения одинаково, мы можем приравнять эти выражения:

$\frac{T_1}{4} = \frac{T_2}{2}$

Отсюда получаем соотношение между периодами:

$T_1 = 2T_2$

Подставим в это равенство формулу для периода $T = \frac{2\pi m}{|q|B}$ для каждого иона:

$\frac{2\pi m_1}{|q_1|B} = 2 \cdot \frac{2\pi m_2}{|q_2|B}$

По условию задачи массы ионов равны ($m_1=m_2=m$), и они движутся в одном и том же магнитном поле $B$. Сокращая общие множители ($2\pi m$ и $B$) в обеих частях уравнения, получаем:

$\frac{1}{|q_1|} = \frac{2}{|q_2|}$

Выразим из этого соотношения модуль заряда второго иона $|q_2|$:

$|q_2| = 2|q_1|$

Подставим заданное значение модуля заряда первого иона $|q_1| = 3.2 \cdot 10^{-19}$ Кл:

$|q_2| = 2 \cdot 3.2 \cdot 10^{-19} = 6.4 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Ответ: модуль заряда второго иона равен $6.4 \cdot 10^{-19}$ Кл.