Номер 1068, страница 241 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1068. Пучок протонов влетает в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 50 \text{ мТл}$, перпендикулярно линиям индукции. В магнитном поле все протоны, двигаясь по дуге окружности диаметром $d = 20 \text{ мм}$, попадают на закрепленную заземленную свинцовую пластинку массой $m = 15 \text{ мг}$ и поглощаются ею. Определите изменение температуры пластинки за время $\tau = 1,5 \text{ мин}$, если сила тока в пучке $I = 20 \text{ мкА}$. Тепловыми потерями пластинки пренебречь.

Дано:

$B = 50$ мТл

$d = 20$ мм

$m_{пл} = 15$ мг

$\tau = 1,5$ мин

$I = 20$ мкА

Частицы - протоны, пластинка - свинцовая.

Справочные данные:

Заряд протона $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса протона $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг

Удельная теплоемкость свинца $c \approx 130$ Дж/(кг·К)

Перевод в систему СИ:

$B = 50 \cdot 10^{-3}$ Тл

$d = 20 \cdot 10^{-3}$ м

$m_{пл} = 15 \cdot 10^{-6}$ кг

$\tau = 1,5 \cdot 60 = 90$ с

$I = 20 \cdot 10^{-6}$ А

Найти:

$\Delta T$

Решение:

На протон, влетающий в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца, которая сообщает ему центростремительное ускорение и заставляет двигаться по окружности.

Сила Лоренца: $F_Л = evB$, где $e$ - заряд протона, $v$ - его скорость.

Второй закон Ньютона для движения по окружности: $F_Л = m_p a_ц = \frac{m_p v^2}{R}$, где $R$ - радиус окружности.

Приравнивая силы, получаем: $evB = \frac{m_p v^2}{R}$.

Отсюда можно выразить скорость протона: $v = \frac{eBR}{m_p}$.

Радиус окружности равен половине диаметра: $R = \frac{d}{2}$.

Тогда скорость: $v = \frac{eBd}{2m_p}$.

Кинетическая энергия одного протона $E_k$ равна:

$E_k = \frac{m_p v^2}{2} = \frac{m_p}{2} \left( \frac{eBd}{2m_p} \right)^2 = \frac{m_p e^2 B^2 d^2}{8 m_p^2} = \frac{e^2 B^2 d^2}{8m_p}$.

За время $\tau$ через поперечное сечение пучка проходит заряд $q = I \tau$.

Число протонов $N$, попавших на пластинку за это время, равно:

$N = \frac{q}{e} = \frac{I \tau}{e}$.

По условию, все протоны поглощаются пластинкой. Их суммарная кинетическая энергия переходит во внутреннюю энергию пластинки, вызывая её нагрев. По закону сохранения энергии (пренебрегая тепловыми потерями), количество теплоты $Q$, полученное пластинкой, равно суммарной кинетической энергии всех протонов:

$Q = N \cdot E_k = \frac{I \tau}{e} \cdot \frac{e^2 B^2 d^2}{8m_p} = \frac{I \tau e B^2 d^2}{8m_p}$.

Количество теплоты, необходимое для нагревания пластинки, также определяется формулой:

$Q = c m_{пл} \Delta T$, где $c$ - удельная теплоемкость свинца, $m_{пл}$ - масса пластинки, $\Delta T$ - изменение ее температуры.

Приравниваем два выражения для $Q$ и выражаем $\Delta T$:

$c m_{пл} \Delta T = \frac{I \tau e B^2 d^2}{8m_p}$

$\Delta T = \frac{I \tau e B^2 d^2}{8 c m_{пл} m_p}$.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta T = \frac{(20 \cdot 10^{-6}) \cdot 90 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot (50 \cdot 10^{-3})^2 \cdot (20 \cdot 10^{-3})^2}{8 \cdot 130 \cdot (15 \cdot 10^{-6}) \cdot (1,67 \cdot 10^{-27})}$

$\Delta T = \frac{20 \cdot 90 \cdot 1,6 \cdot 2500 \cdot 400 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-6}}{8 \cdot 130 \cdot 15 \cdot 1,67 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-27}}$

$\Delta T = \frac{2,88 \cdot 10^9 \cdot 10^{-37}}{26052 \cdot 10^{-33}} = \frac{2,88 \cdot 10^{-28}}{2,6052 \cdot 10^{-29}} \approx 11,05$ К.

Ответ:

Изменение температуры пластинки составит примерно $\Delta T \approx 11$ К.