Номер 1075, страница 243 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1075. Положительно заряженный ион из состояния покоя проходит в электростатическом поле ускоряющую разность потенциалов $\varphi_1 - \varphi_2 = 20 \text{ кВ}$ и влетает в область пространства, в которой созданы два взаимно перпендикулярных поля: однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 20 \text{ мТл}$, и однородное электростатическое поле, модуль напряженности которого $E = 40 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$. Определите отношение заряда иона к его массе, если в области взаимно перпендикулярных полей ион движется равномерно и прямолинейно.

Дано

Разность потенциалов: $ \phi_1 - \phi_2 = 20 \text{ кВ} $
Индукция магнитного поля: $ B = 20 \text{ мТл} $
Напряженность электрического поля: $ E = 40 \frac{\text{кВ}}{\text{м}} $
Начальная скорость иона: $ v_0 = 0 \frac{\text{м}}{\text{с}} $

Перевод в систему СИ:
$ \phi_1 - \phi_2 = \Delta\phi = 20 \times 10^3 \text{ В} = 2 \times 10^4 \text{ В} $
$ B = 20 \times 10^{-3} \text{ Тл} = 2 \times 10^{-2} \text{ Тл} $
$ E = 40 \times 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 4 \times 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}} $

Найти:

Отношение заряда иона к его массе: $ \frac{q}{m} $

Решение

Задача состоит из двух частей. Сначала ион, находясь в состоянии покоя, ускоряется в электростатическом поле, а затем влетает в область с взаимно перпендикулярными электрическим и магнитным полями.

1. Рассмотрим ускорение иона. Работа $ A $ электростатического поля идет на увеличение кинетической энергии иона. Согласно теореме о кинетической энергии: $ A = \Delta K = K - K_0 $ Работа поля равна $ A = q(\phi_1 - \phi_2) = q\Delta\phi $. Начальная кинетическая энергия $ K_0 = 0 $, так как ион начинает движение из состояния покоя. Конечная кинетическая энергия $ K = \frac{mv^2}{2} $, где $ v $ - скорость иона после ускорения. Таким образом, получаем: $ q\Delta\phi = \frac{mv^2}{2} $ Из этого уравнения можно выразить искомое отношение заряда к массе: $ \frac{q}{m} = \frac{v^2}{2\Delta\phi} $ (1)

2. Рассмотрим движение иона в области взаимно перпендикулярных полей. По условию, ион движется равномерно и прямолинейно. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на ион, равна нулю. На ион действуют две силы: - Сила со стороны электрического поля (сила Кулона): $ \vec{F_E} = q\vec{E} $. Ее модуль равен $ F_E = qE $. - Сила со стороны магнитного поля (сила Лоренца): $ \vec{F_L} = q[\vec{v} \times \vec{B}] $. Ее модуль равен $ F_L = qvB\sin\alpha $, где $ \alpha $ - угол между вектором скорости $ \vec{v} $ и вектором магнитной индукции $ \vec{B} $.

Для того чтобы ион двигался прямолинейно, сила Лоренца и электрическая сила должны быть направлены в противоположные стороны и равны по модулю. Это возможно, когда вектор скорости иона перпендикулярен как вектору напряженности электрического поля, так и вектору магнитной индукции. В этом случае $ \sin\alpha = \sin(90^\circ) = 1 $, и условие равновесия сил записывается как: $ F_E = F_L $ $ qE = qvB $ Отсюда находим скорость иона: $ v = \frac{E}{B} $ (2)

3. Теперь подставим выражение для скорости (2) в уравнение (1), чтобы найти отношение $ \frac{q}{m} $: $ \frac{q}{m} = \frac{(\frac{E}{B})^2}{2\Delta\phi} = \frac{E^2}{2B^2\Delta\phi} $

Подставим числовые значения из системы СИ: $ \frac{q}{m} = \frac{(4 \times 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}})^2}{2 \times (2 \times 10^{-2} \text{ Тл})^2 \times (2 \times 10^4 \text{ В})} = \frac{16 \times 10^8}{2 \times 4 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^4} = \frac{16 \times 10^8}{16 \times 10^0} = 1 \times 10^8 \frac{\text{Кл}}{\text{кг}} $

Ответ: отношение заряда иона к его массе равно $ 10^8 \frac{\text{Кл}}{\text{кг}} $.