Номер 1078, страница 244 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1078. Две частицы с одинаковыми массами $m_1 = m_2 = m = 1{,}1 \cdot 10^{-12}\text{ кг}$ и одинаковыми зарядами $q_1 = q_2 = q = 1{,}0 \cdot 10^{-10}\text{ Кл}$ движутся в вакууме в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна их скорости. Расстояние $l = 2{,}0\text{ м}$ между частицами остается постоянным. Частицы движутся со скоростями, модули которых $v_1 = v_2 = v = 15 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Направления скоростей частиц противоположны в любой момент времени. Определите модуль индукции магнитного поля.

Дано:

$m_1 = m_2 = m = 1,1 \cdot 10^{-12}$ кг

$q_1 = q_2 = q = 1,0 \cdot 10^{-10}$ Кл

$l = 2,0$ м

$v_1 = v_2 = v = 15$ м/с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$B$ — модуль индукции магнитного поля.

Решение:

На каждую заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная вектору скорости. Эта сила выступает в роли центростремительной силы и заставляет частицы двигаться по окружности. Так как индукция магнитного поля перпендикулярна скоростям частиц, они будут двигаться в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции.

Условия, что расстояние между частицами $l$ постоянно, а их скорости в любой момент времени противоположны ($\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$), означают, что частицы движутся по одной и той же окружности радиусом $R$, находясь на диаметрально противоположных точках. Радиус этой окружности равен половине расстояния между частицами: $R = \frac{l}{2}$.

Рассмотрим силы, действующие на одну из частиц. На нее действуют две силы в радиальном направлении:

1. Сила Лоренца $\vec{F}_L$ со стороны внешнего магнитного поля.

2. Сила Кулона $\vec{F}_C$ со стороны второй частицы.

Поскольку заряды частиц одинаковы, сила Кулона является силой отталкивания и направлена от центра окружности. Для того чтобы частица двигалась по окружности, равнодействующая сил должна быть направлена к центру окружности и создавать центростремительное ускорение. Это означает, что сила Лоренца должна быть направлена к центру окружности и быть больше по модулю, чем сила Кулона.

Запишем второй закон Ньютона для одной из частиц в проекции на радиальное направление (положительное направление — к центру окружности):

$F_ц = F_L - F_C$

где $F_ц = ma_ц$ — центростремительная сила, $a_ц = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.

Модуль силы Лоренца: $F_L = qvB$.

Модуль силы Кулона: $F_C = k \frac{q^2}{l^2}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$ — постоянная Кулона.

Радиус окружности $R = \frac{l}{2}$, тогда центростремительная сила равна:

$F_ц = m \frac{v^2}{R} = m \frac{v^2}{l/2} = \frac{2mv^2}{l}$

Подставляем все выражения в уравнение второго закона Ньютона:

$\frac{2mv^2}{l} = qvB - k \frac{q^2}{l^2}$

Выразим из этого уравнения модуль индукции магнитного поля $B$:

$qvB = \frac{2mv^2}{l} + k \frac{q^2}{l^2}$

$B = \frac{1}{qv} \left( \frac{2mv^2}{l} + k \frac{q^2}{l^2} \right) = \frac{2mv}{ql} + \frac{kq}{vl^2}$

Подставим числовые значения:

$B = \frac{2 \cdot 1,1 \cdot 10^{-12} \text{ кг} \cdot 15 \text{ м/с}}{1,0 \cdot 10^{-10} \text{ Кл} \cdot 2,0 \text{ м}} + \frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 1,0 \cdot 10^{-10} \text{ Кл}}{15 \text{ м/с} \cdot (2,0 \text{ м})^2}$

$B = \frac{33 \cdot 10^{-12}}{2 \cdot 10^{-10}} + \frac{0,9}{15 \cdot 4} = 16,5 \cdot 10^{-2} + \frac{0,9}{60}$

$B = 0,165 + 0,015 = 0,18$ Тл

Ответ: $B = 0,18$ Тл.