Номер 1085, страница 246 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1085. Положительно заряженный маленький шарик массой $m = 2,0$ г подвешен на невесомой нерастяжимой непроводящей нити длиной $l = 20$ см в однородном магнитном поле, направленном горизонтально. Нить с шариком отклоняют в горизонтальное положение в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля, и отпускают без начальной скорости. Определите заряд шарика, если модуль силы натяжения нити в нижней точке траектории движения шарика $F = 50$ мН. Модуль индукции магнитного поля $B = 0,50$ Тл.

Дано:

Масса шарика $m = 2,0 \text{ г}$
Длина нити $l = 20 \text{ см}$
Сила натяжения нити в нижней точке $F = 50 \text{ мН}$
Модуль индукции магнитного поля $B = 0,50 \text{ Тл}$
Ускорение свободного падения (примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$)

Перевод в систему СИ:

$m = 2,0 \times 10^{-3} \text{ кг}$
$l = 0,20 \text{ м}$
$F = 50 \times 10^{-3} \text{ Н}$

Найти:

Заряд шарика $q$.

Решение:

Когда шарик отпускают из горизонтального положения, он начинает двигаться под действием силы тяжести. Его потенциальная энергия переходит в кинетическую. Так как сила натяжения нити и сила Лоренца всегда перпендикулярны скорости движения шарика, они работы не совершают. Следовательно, для системы выполняется закон сохранения механической энергии.

1. Определим скорость шарика $v$ в нижней точке траектории. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение шарика в нижней точке. Тогда в начальном (горизонтальном) положении высота шарика над нулевым уровнем равна длине нити $l$.

Начальная энергия: $E_1 = E_{потенциальная} + E_{кинетическая} = mgl + 0 = mgl$.
Энергия в нижней точке: $E_2 = 0 + \frac{1}{2}mv^2$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:
$mgl = \frac{1}{2}mv^2$
Отсюда можем выразить квадрат скорости: $v^2 = 2gl$.

2. Рассмотрим силы, действующие на шарик в нижней точке траектории. В этой точке на шарик действуют:

- Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз. - Сила натяжения нити $F$, направленная вертикально вверх. - Сила Лоренца $F_L$, действующая на движущийся заряд.

По условию, движение шарика происходит в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля. Значит, вектор скорости $\vec{v}$ в любой момент времени перпендикулярен вектору магнитной индукции $\vec{B}$. В нижней точке траектории скорость $\vec{v}$ направлена горизонтально, следовательно, сила Лоренца $F_L = qvB$ направлена вертикально (вверх или вниз).

3. Запишем второй закон Ньютона для шарика в нижней точке. Движение происходит по дуге окружности радиусом $l$. Равнодействующая сил, направленных по радиусу к центру окружности (вверх), сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{l}$.

Направим ось OY вертикально вверх. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на эту ось:

$F_{равнодействующая} = ma_c$
$F - mg \pm F_L = m\frac{v^2}{l}$

Знак перед силой Лоренца $F_L$ зависит от ее направления. Подставим ранее найденное выражение $v^2 = 2gl$:

$F - mg \pm F_L = m\frac{2gl}{l} = 2mg$
$F \pm F_L = 3mg$

Рассчитаем величину $3mg$:
$3mg = 3 \times (2,0 \times 10^{-3} \text{ кг}) \times 10 \text{ м/с}^2 = 0,06 \text{ Н}$.

Сравним это значение с силой натяжения $F = 50 \times 10^{-3} \text{ Н} = 0,05 \text{ Н}$.
Так как $3mg > F$, для выполнения равенства $F \pm F_L = 3mg$ сила Лоренца должна быть направлена в ту же сторону, что и сила натяжения, то есть вверх. Тогда уравнение принимает вид:

$F + F_L = 3mg$
$F_L = 3mg - F = 0,06 \text{ Н} - 0,05 \text{ Н} = 0,01 \text{ Н}$.

4. Теперь найдем заряд шарика из формулы силы Лоренца $F_L = qvB$. Для этого сначала вычислим скорость $v$:

$v = \sqrt{2gl} = \sqrt{2 \times 10 \text{ м/с}^2 \times 0,20 \text{ м}} = \sqrt{4 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 2,0 \text{ м/с}$.

Из $F_L = qvB$ выражаем заряд $q$:

$q = \frac{F_L}{vB}$
$q = \frac{0,01 \text{ Н}}{2,0 \text{ м/с} \times 0,50 \text{ Тл}} = \frac{0,01}{1,0} \text{ Кл} = 0,01 \text{ Кл}$.

Ответ: заряд шарика равен $q = 0,01 \text{ Кл}$.