Номер 1084, страница 245 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1084. По наклонной плоскости длиной $AC = 40$ см и высотой $CD = 24$ см (рис. 253), находящейся в однородном магнитном поле, равномерно соскальзывает маленькая шайба с зарядом $q = 40$ мКл и массой $m = 12$ г. Линии индукции магнитного поля $\vec{B} \otimes$ направлены горизонтально и параллельно плоскости. Модуль индукции магнитного поля $B = 1,0$ Тл. Определите модуль скорости движения шайбы, если коэффициент трения скольжения $\mu = 0,50$.

Рис. 253

Дано:

$AC = 40$ см
$CD = 24$ см
$q = 40$ мкКл
$m = 12$ г
$B = 1,0$ Тл
$\mu = 0,50$
$g = 10$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:
$AC = 0,40$ м
$CD = 0,24$ м
$q = 40 \cdot 10^{-6}$ Кл
$m = 12 \cdot 10^{-3}$ кг $= 0,012$ кг

Найти:

$v$

Решение:

На шайбу, соскальзывающую с наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ и сила Лоренца $\vec{F}_L$. Шайба движется равномерно, следовательно, ее ускорение равно нулю, а равнодействующая всех сил, действующих на шайбу, равна нулю (первый закон Ньютона):

$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_L = 0$

Введем систему координат: ось OX направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$ из геометрии задачи (прямоугольный треугольник ADC):

$\sin\alpha = \frac{CD}{AC} = \frac{24 \text{ см}}{40 \text{ см}} = \frac{24}{40} = 0,6$

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$

Определим направление силы Лоренца $\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$. Вектор скорости $\vec{v}$ направлен вниз по наклонной плоскости. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен горизонтально и перпендикулярно плоскости рисунка "от нас" (символ $\otimes$). Так как заряд $q$ положительный, по правилу левой руки сила Лоренца $\vec{F}_L$ направлена перпендикулярно наклонной плоскости, отрывая шайбу от поверхности (вдоль оси OY).

Спроецируем уравнение равновесия на оси координат:

Ось OY: $N + F_L - mg\cos\alpha = 0$

Ось OX: $mg\sin\alpha - F_{тр} = 0$

Сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N$. Из первого уравнения выразим силу нормальной реакции: $N = mg\cos\alpha - F_L$. Подставим это во второе уравнение: $mg\sin\alpha = \mu(mg\cos\alpha - F_L)$.

Проверим возможность такого движения. Для соскальзывания шайбы сила тяжести вдоль склона должна быть больше силы трения. В начальный момент ($v=0$, $F_L=0$) сила трения равна $\mu N_0 = \mu mg\cos\alpha$.

$mg\sin\alpha = 0,012 \cdot 10 \cdot 0,6 = 0,072$ Н.

$\mu mg\cos\alpha = 0,5 \cdot 0,012 \cdot 10 \cdot 0,8 = 0,048$ Н.

Поскольку $mg\sin\alpha > \mu mg\cos\alpha$, шайба действительно начнет соскальзывать. Однако, с ростом скорости $v$ будет расти сила Лоренца $F_L = qvB$, направленная от плоскости. Это приведет к уменьшению силы нормальной реакции $N$ и, как следствие, к уменьшению силы трения $F_{тр}$. В результате, сила, тянущая шайбу вниз по склону ($mg\sin\alpha$), будет оставаться постоянной, а сила, тормозящая ее ($F_{тр}$), будет уменьшаться. Это означает, что шайба будет двигаться с ускорением, а не равномерно.

Равномерное движение возможно только в том случае, если сила Лоренца прижимает шайбу к плоскости, увеличивая силу трения до тех пор, пока она не уравновесит скатывающую силу. Такое возможно, если заряд шайбы отрицательный или вектор магнитной индукции направлен "к нам" ($\odot$). Предположим, что в условии задачи имеется неточность, и сила Лоренца направлена к плоскости (вдоль оси -OY). Тогда уравнения примут вид:

Ось OY: $N - F_L - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha + F_L$

Ось OX: $mg\sin\alpha - F_{тр} = 0 \implies mg\sin\alpha = \mu N$

Подставим $N$ и учтем, что модуль силы Лоренца $F_L = qvB$ (т.к. угол между $\vec{v}$ и $\vec{B}$ равен $90^\circ$):

$mg\sin\alpha = \mu(mg\cos\alpha + qvB)$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = \mu qvB$

$v = \frac{mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{\mu q B}$

Подставим численные значения:

$v = \frac{0,012 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (0,6 - 0,5 \cdot 0,8)}{0,5 \cdot 40 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 1,0 \text{ Тл}} = \frac{0,12 \cdot (0,6 - 0,4)}{20 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,12 \cdot 0,2}{20 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,024}{20 \cdot 10^{-6}} = \frac{24000}{20} = 1200$ м/с.

Ответ: $1200$ м/с.