Номер 1077, страница 243 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1077. Заряженная частица влетает в область пространства, где созданы однородные электростатическое и магнитное поля. Модуль напряженности электростатического поля $E=5,0 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$, модуль индукции магнитного поля $B=0,15 \text{ Тл.}$ Причем векторы $\overline{E}$ и $\overline{B}$ имеют одинаковое направление. В момент влета в область полей скорость $\vec{v}_0$ частицы перпендикулярна линиям индукции магнитного поля, а модуль ее ускорения $a=1,0 \cdot 10^{12} \frac{\text{М}}{\text{с}^2}$.

Определите модуль скорости $\vec{v}_0$. Масса частицы $m=5,0 \cdot 10^{-17} \text{ кг,}$ заряд частицы $q=8,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл.}$

Дано

$E = 5,0 \frac{\text{кВ}}{\text{м}} = 5,0 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$B = 0,15 \text{ Тл}$

$a = 1,0 \cdot 10^{12} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$m = 5,0 \cdot 10^{-17} \text{ кг}$

$q = 8,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ сонаправлены ($\vec{E} \uparrow\uparrow \vec{B}$).

Начальная скорость перпендикулярна линиям индукции ($\vec{v}_0 \perp \vec{B}$).

Найти:

$v_0$

Решение

На заряженную частицу в электромагнитном поле действует сила Лоренца, которая является векторной суммой электрической и магнитной сил:

$\vec{F} = \vec{F}_э + \vec{F}_м = q\vec{E} + q[\vec{v}_0 \times \vec{B}]$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы частицы на ее ускорение:

$\vec{F} = m\vec{a}$

Приравняем правые части выражений:

$m\vec{a} = q\vec{E} + q[\vec{v}_0 \times \vec{B}]$

Рассмотрим направления сил в начальный момент времени. Электрическая сила $\vec{F}_э = q\vec{E}$ направлена вдоль вектора напряженности $\vec{E}$ (так как заряд $q$ положительный).

Магнитная сила $\vec{F}_м = q[\vec{v}_0 \times \vec{B}]$ перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы $\vec{v}_0$ и $\vec{B}$.

По условию задачи, векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ сонаправлены. Вектор скорости $\vec{v}_0$ перпендикулярен вектору $\vec{B}$, а значит, и вектору $\vec{E}$.

Из этого следует, что электрическая сила $\vec{F}_э$ (направленная вдоль $\vec{E}$) и магнитная сила $\vec{F}_м$ (перпендикулярная $\vec{B}$, а значит и $\vec{E}$) взаимно перпендикулярны: $\vec{F}_э \perp \vec{F}_м$.

Модуль результирующей силы $F$ можно найти по теореме Пифагора, так как составляющие силы перпендикулярны:

$F = \sqrt{F_э^2 + F_м^2}$

Найдем модули электрической и магнитной сил:

Модуль электрической силы: $F_э = qE$.

Модуль магнитной силы: $F_м = qv_0B\sin\alpha$. Поскольку $\vec{v}_0 \perp \vec{B}$, угол $\alpha = 90^\circ$, и $\sin(90^\circ) = 1$. Таким образом, $F_м = qv_0B$.

Подставим модули сил в формулу для результирующей силы:

$F = \sqrt{(qE)^2 + (qv_0B)^2}$

Так как $F = ma$, то:

$ma = \sqrt{(qE)^2 + (qv_0B)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы выразить скорость $v_0$:

$(ma)^2 = (qE)^2 + (qv_0B)^2$

$(qv_0B)^2 = (ma)^2 - (qE)^2$

$v_0^2 = \frac{(ma)^2 - (qE)^2}{(qB)^2}$

$v_0 = \frac{\sqrt{(ma)^2 - (qE)^2}}{qB}$

Проведем вычисления:

$ma = 5,0 \cdot 10^{-17} \text{ кг} \cdot 1,0 \cdot 10^{12} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 5,0 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

$qE = 8,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \cdot 5,0 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

$qB = 8,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \cdot 0,15 \text{ Тл} = 1,2 \cdot 10^{-9} \frac{\text{Кл} \cdot \text{Н}}{\text{А} \cdot \text{м}}$

Подставляем значения в формулу для скорости:

$v_0 = \frac{\sqrt{(5,0 \cdot 10^{-5})^2 - (4,0 \cdot 10^{-5})^2}}{1,2 \cdot 10^{-9}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 10^{-10} - 16 \cdot 10^{-10}}}{1,2 \cdot 10^{-9}}$

$v_0 = \frac{\sqrt{9 \cdot 10^{-10}}}{1,2 \cdot 10^{-9}} = \frac{3 \cdot 10^{-5}}{1,2 \cdot 10^{-9}} = 2,5 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль скорости частицы равен $2,5 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.