Номер 1070, страница 241 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1070. Ядро атома гелия, ускоренное из состояния покоя в электростатическом поле разностью потенциалов $U = 150 \, \text{В}$, влетает в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 0,25 \, \text{Тл}$, и движется по окружности длиной $l = 6,0 \, \text{см}$. Определите модуль индукции магнитного поля. Молярная масса гелия $M = 4,0 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$. Заряд ядра гелия $q = 3,2 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}$.

Дано:

Разность потенциалов $U = 150$ В
Длина окружности $l = 6,0$ см
Молярная масса гелия $M = 4,0 \frac{\text{г}}{\text{моль}}$
Заряд ядра гелия $q = 3,2 \cdot 10^{-19}$ Кл
Число Авогадро $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:
$l = 6,0 \cdot 10^{-2}$ м
$M = 4,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Найти:

Модуль индукции магнитного поля $B$.

Решение:

При ускорении в электростатическом поле ядро атома гелия приобретает кинетическую энергию $K$, равную работе $A$ электрического поля. Так как начальная скорость равна нулю, по закону сохранения энергии:

$\frac{mv^2}{2} = qU$

где $m$ – масса ядра, $v$ – его скорость.

Отсюда выразим квадрат скорости ядра:

$v^2 = \frac{2qU}{m}$ (1)

Когда ядро влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на него начинает действовать сила Лоренца $F_Л$. Эта сила является центростремительной и заставляет ядро двигаться по окружности.

$F_Л = qvB$

Центростремительная сила $F_ц$ равна:

$F_ц = \frac{mv^2}{r}$

Приравнивая силы, получаем второй закон Ньютона для движения по окружности:

$qvB = \frac{mv^2}{r}$

Из этого уравнения выразим модуль индукции магнитного поля $B$:

$B = \frac{mv}{qr}$

Для удобства возведем обе части уравнения в квадрат и подставим выражение для $v^2$ из формулы (1):

$B^2 = \frac{m^2v^2}{q^2r^2} = \frac{m^2}{q^2r^2} \cdot \frac{2qU}{m} = \frac{2mU}{qr^2}$

Массу одного ядра гелия $m$ найдем через молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$:

$m = \frac{M}{N_A}$

Радиус окружности $r$ найдем, зная ее длину $l$:

$l = 2\pi r \implies r = \frac{l}{2\pi}$

Подставим выражения для $m$ и $r$ в формулу для $B^2$:

$B^2 = \frac{2(\frac{M}{N_A})U}{q(\frac{l}{2\pi})^2} = \frac{2MU}{qN_A} \cdot \frac{4\pi^2}{l^2} = \frac{8\pi^2MU}{qN_Al^2}$

Отсюда находим $B$:

$B = \sqrt{\frac{8\pi^2MU}{qN_Al^2}} = \frac{2\pi}{l}\sqrt{\frac{2MU}{qN_A}}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$B = \frac{2 \cdot 3,1416}{6,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}} \sqrt{\frac{2 \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 150 \text{ В}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}}$

$B \approx 104,7 \sqrt{\frac{1,2}{1,9264 \cdot 10^5}} \approx 104,7 \sqrt{6,229 \cdot 10^{-6}} \approx 104,7 \cdot 2,496 \cdot 10^{-3} \approx 0,261 \text{ Тл}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с данными в условии, получаем:

Ответ: $B \approx 0,26$ Тл.