Номер 1074, страница 242 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1074. Частица с зарядом $q = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{Кл}$ и массой $m = 1,0 \cdot 10^{-26}\ \text{кг}$, двигавшаяся в однородном магнитном поле по окружности радиусом $R = 4,0\ \text{см}$, вылетела из него и попала в однородное электростатическое поле, модуль напряженности которого $E=20\ \frac{\text{В}}{\text{м}}$. Двигаясь против линий напряженности, частица остановилась. Определите модуль перемещения частицы в электростатическом поле, если модуль индукции магнитного поля $B = 10\ \text{мТл}$.

Дано:

Заряд частицы $q = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл
масса частицы $m = 1,0 \cdot 10^{-26}$ кг
радиус окружности $R = 4,0$ см
напряженность электрического поля $E = 20$ В/м
индукция магнитного поля $B = 10$ мТл

Перевод в систему СИ:
$R = 4,0 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$
$B = 10 \text{ мТл} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,01 \text{ Тл}$

Найти:

Модуль перемещения частицы в электростатическом поле $s$.

Решение:

Задача состоит из двух частей: движение частицы в магнитном поле и последующее торможение в электрическом поле. Скорость, с которой частица вылетает из магнитного поля, является начальной скоростью для движения в электрическом поле.

1. Движение в магнитном поле.На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как частица движется по окружности, эта сила является центростремительной. Вектор скорости частицы перпендикулярен вектору магнитной индукции.

Сила Лоренца: $F_Л = qvB$

Центростремительная сила: $F_{цс} = \frac{mv^2}{R}$

Приравниваем эти силы:$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда можно выразить скорость частицы $v$:$v = \frac{qBR}{m}$

Эта скорость является начальной для движения в электрическом поле.

2. Движение в электростатическом поле.Частица влетает в электрическое поле и движется до полной остановки. Это означает, что ее кинетическая энергия полностью расходуется на работу против сил электрического поля. Воспользуемся теоремой о кинетической энергии:

$A = \Delta W_к = W_{к,конечная} - W_{к,начальная}$

Работа электрического поля $A$ при перемещении частицы на расстояние $s$ против линий напряженности равна $A = -qEs$.Начальная кинетическая энергия частицы $W_{к,начальная} = \frac{mv^2}{2}$.Конечная кинетическая энергия $W_{к,конечная} = 0$, так как частица остановилась.

Подставляем в теорему:$-qEs = 0 - \frac{mv^2}{2}$$qEs = \frac{mv^2}{2}$

Выразим искомое перемещение $s$:$s = \frac{mv^2}{2qE}$

Теперь подставим в это уравнение выражение для скорости $v$, найденное в первом пункте:$s = \frac{m}{2qE} \left(\frac{qBR}{m}\right)^2 = \frac{m}{2qE} \frac{q^2 B^2 R^2}{m^2}$

Сократив $m$ и $q$, получаем итоговую формулу для расчета:$s = \frac{qB^2R^2}{2mE}$

Подставим числовые значения:

$s = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot (0,01 \text{ Тл})^2 \cdot (0,04 \text{ м})^2}{2 \cdot 1,0 \cdot 10^{-26} \text{ кг} \cdot 20 \text{ В/м}}$

$s = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot (10^{-2})^2 \cdot (4 \cdot 10^{-2})^2}{40 \cdot 10^{-26}} = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-4} \cdot 16 \cdot 10^{-4}}{4 \cdot 10^{-25}}$

$s = \frac{25,6 \cdot 10^{-27}}{4 \cdot 10^{-25}} = 6,4 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Ответ: $0,064$ м.