Номер 1076, страница 243 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1076. Положительно заряженная частица массой $m$ и зарядом $q$, пройдя из состояния покоя ускоряющую разность потенциалов $U_0$, влетает в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, разность потенциалов между ними $U$. Конденсатор находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого параллельны пластинам конденсатора. Определите модуль индукции магнитного поля, если в конденсаторе частица движется равномерно и прямолинейно параллельно его пластинам.

Дано:

Масса частицы: $m$

Заряд частицы: $q$

Ускоряющая разность потенциалов: $U_0$

Расстояние между пластинами конденсатора: $d$

Разность потенциалов между пластинами конденсатора: $U$

Найти:

Модуль индукции магнитного поля: $B$

Решение:

1. Найдем скорость $v$, с которой частица влетает в конденсатор. Частица, начав движение из состояния покоя, ускоряется электрическим полем с разностью потенциалов $U_0$. По теореме о кинетической энергии, работа электрического поля равна изменению кинетической энергии частицы:

$A = \Delta K$

Работа поля $A = qU_0$. Начальная кинетическая энергия равна нулю. Конечная кинетическая энергия $K = \frac{mv^2}{2}$.

Следовательно, $qU_0 = \frac{mv^2}{2}$.

Отсюда выразим скорость частицы:

$v = \sqrt{\frac{2qU_0}{m}}$

2. Внутри конденсатора на частицу действуют две силы: сила со стороны электрического поля $\vec{F_э}$ и сила Лоренца со стороны магнитного поля $\vec{F_м}$.

По условию задачи, частица движется равномерно и прямолинейно. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что векторная сумма всех действующих на нее сил равна нулю:

$\vec{F_э} + \vec{F_м} = 0$

Это значит, что силы равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{F_э} = -\vec{F_м}$.

3. Рассмотрим силы, действующие на частицу.

Сила со стороны электрического поля: $\vec{F_э} = q\vec{E}$. Напряженность однородного электрического поля в плоском конденсаторе равна $E = \frac{U}{d}$. Модуль электрической силы: $F_э = qE = q\frac{U}{d}$. Эта сила направлена перпендикулярно пластинам конденсатора.

Сила Лоренца: $\vec{F_м} = q(\vec{v} \times \vec{B})$. Ее модуль равен $F_м = qvB\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

4. Для того чтобы сила Лоренца могла скомпенсировать электрическую силу, она должна быть направлена противоположно ей, то есть тоже перпендикулярно пластинам. Вектор скорости $\vec{v}$ и вектор магнитной индукции $\vec{B}$ по условию параллельны пластинам. Сила Лоренца по определению векторного произведения перпендикулярна и вектору $\vec{v}$, и вектору $\vec{B}$. Следовательно, чтобы сила Лоренца была перпендикулярна пластинам, векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ должны быть перпендикулярны друг другу ($\alpha=90^\circ$, $\sin\alpha = 1$). В этом случае модуль силы Лоренца максимален и равен $F_м = qvB$.

5. Приравняем модули сил:

$F_э = F_м$

$q\frac{U}{d} = qvB$

Отсюда выразим модуль индукции магнитного поля:

$B = \frac{U}{vd}$

6. Подставим в полученное выражение найденную ранее скорость $v$:

$B = \frac{U}{d \sqrt{\frac{2qU_0}{m}}} = \frac{U}{d} \sqrt{\frac{m}{2qU_0}}$

Ответ: $B = \frac{U}{d} \sqrt{\frac{m}{2qU_0}}$