Номер 1083, страница 245 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1083. Маленький брусок массой $m = 15 \text{ г}$ и зарядом $q = 0,20 \text{ Кл}$ расположен на горизонтальной плоскости в однородном горизонтальном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 0,60 \text{ Тл}$. На брусок начинает действовать сила $\vec{F}$, параллельная плоскости и перпендикулярная индукции магнитного поля (рис. 252). Модуль силы $F = 0,27 \text{ Н}$. Определите мощность, развиваемую силой $\vec{F}$ через достаточно большой промежуток времени. Коэффициент трения между бруском и плоскостью $\mu = 0,20$.

$\vec{B} \odot$

Рис. 252

Дано:

$m = 15 \text{ г}$

$q = 0,20 \text{ Кл}$

$B = 0,60 \text{ Тл}$

$F = 0,27 \text{ Н}$

$\mu = 0,20$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

В системе СИ:

$m = 15 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,015 \text{ кг}$

Найти:

$P$ - мощность силы $ \vec{F} $

Решение:

На брусок в горизонтальной плоскости действуют три силы: приложенная сила $ \vec{F} $, сила трения скольжения $ \vec{F}_{тр} $ и сила Лоренца $ \vec{F}_{Л} $. Сила тяжести $ m\vec{g} $ и сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $ действуют в вертикальном направлении и уравновешивают друг друга, так как магнитное поле, согласно рисунку, направлено перпендикулярно плоскости движения и не создает вертикальной компоненты силы Лоренца. Таким образом, $ N = mg $.

Через достаточно большой промежуток времени брусок будет двигаться с постоянной (установившейся) скоростью $ \vec{v} $. Это означает, что его ускорение равно нулю, и по второму закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$ \vec{F} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_{Л} + m\vec{g} + \vec{N} = 0 $

В горизонтальной плоскости это означает, что $ \vec{F} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_{Л} = 0 $.

Сила трения $ \vec{F}_{тр} $ всегда направлена против вектора скорости $ \vec{v} $. Ее модуль равен $ F_{тр} = \mu N = \mu mg $.

Сила Лоренца $ \vec{F}_{Л} $ перпендикулярна вектору скорости $ \vec{v} $ и вектору магнитной индукции $ \vec{B} $. Поскольку $ \vec{B} $ перпендикулярен плоскости движения, $ \vec{F}_{Л} $ лежит в этой плоскости и перпендикулярна $ \vec{v} $. Ее модуль равен $ F_{Л} = qvB $.

Из векторного равенства $ \vec{F} = -(\vec{F}_{тр} + \vec{F}_{Л}) $ и того факта, что $ \vec{F}_{тр} \perp \vec{F}_{Л} $ (так как одна параллельна $ \vec{v} $, а другая перпендикулярна), следует, что векторы сил $ \vec{F}_{тр} $ и $ \vec{F}_{Л} $ являются катетами, а вектор $ \vec{F} $ — гипотенузой в прямоугольном треугольнике сил. По теореме Пифагора для модулей сил:

$ F^2 = F_{тр}^2 + F_{Л}^2 $

Подставим выражения для модулей сил:

$ F^2 = (\mu mg)^2 + (qvB)^2 $

Из этого уравнения можно выразить установившуюся скорость $ v $:

$ (qvB)^2 = F^2 - (\mu mg)^2 $

$ v = \frac{\sqrt{F^2 - (\mu mg)^2}}{qB} $

Мощность, развиваемая силой $ \vec{F} $, определяется как скалярное произведение $ P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos\alpha $, где $ \alpha $ — угол между векторами $ \vec{F} $ и $ \vec{v} $.

Спроецируем уравнение сил $ \vec{F} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_{Л} = 0 $ на направление вектора скорости $ \vec{v} $. Проекция $ \vec{F}_{Л} $ на это направление равна нулю ($ \vec{F}_{Л} \perp \vec{v} $), проекция $ \vec{F}_{тр} $ равна $ -F_{тр} $, а проекция $ \vec{F} $ равна $ F \cos\alpha $. Получаем:

$ F \cos\alpha - F_{тр} = 0 \implies F \cos\alpha = F_{тр} = \mu mg $

Тогда выражение для мощности принимает вид:

$ P = v \cdot (F \cos\alpha) = v \cdot \mu mg $

Подставим ранее найденное выражение для скорости $ v $:

$ P = \frac{\sqrt{F^2 - (\mu mg)^2}}{qB} \cdot \mu mg $

Произведем вычисления:

Сила трения: $ F_{тр} = \mu mg = 0,20 \cdot 0,015 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 0,03 \text{ Н} $.

Знаменатель: $ qB = 0,20 \text{ Кл} \cdot 0,60 \text{ Тл} = 0,12 \text{ Кл}\cdot\text{Тл} $.

$ P = \frac{\sqrt{(0,27 \text{ Н})^2 - (0,03 \text{ Н})^2}}{0,12} \cdot 0,03 = \frac{\sqrt{0,0729 - 0,0009}}{0,12} \cdot 0,03 = \frac{\sqrt{0,072}}{0,12} \cdot 0,03 $

$ P \approx \frac{0,2683}{0,12} \cdot 0,03 \approx 2,236 \cdot 0,03 \approx 0,06708 \text{ Вт} $

С учетом точности исходных данных (два значащих знака), округляем результат.

$ P \approx 0,067 \text{ Вт} $

Ответ: Мощность, развиваемая силой $ \vec{F} $, через достаточно большой промежуток времени составит примерно $0,067 \text{ Вт}$.