Номер 1082, страница 245 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1082. Однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 60 \text{ мТл}$, создано в широкой и длинной полосе. Протон влетает в это поле под углом $\alpha = 45^\circ$ к его границе и перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Определите время нахождения протона в магнитном поле.

Дано:

$B = 60 \text{ мТл}$

$\alpha = 45^\circ$

Частица - протон, следовательно, известны его заряд и масса:

$q_p \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

$m_p \approx 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$B = 60 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.06 \text{ Тл}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

$t$ - время нахождения протона в магнитном поле.

Решение:

Протон, являясь заряженной частицей, при движении в магнитном поле испытывает действие силы Лоренца. Так как по условию протон влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$ равен $90^\circ$.

Модуль силы Лоренца в этом случае определяется формулой:

$F_Л = qvB$

Сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости частицы, поэтому она сообщает ей центростремительное ускорение. В результате протон в однородном магнитном поле движется по дуге окружности. Согласно второму закону Ньютона:

$F_Л = ma_c$

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

где $m$ – масса протона, $q$ – его заряд, $v$ – скорость, $R$ – радиус окружности.

Протон влетает в область поля под углом $\alpha$ к границе, описывает дугу окружности и вылетает из поля, покинув его через ту же границу. Из соображений симметрии, угол вылета будет также равен $\alpha$ к границе.

За время нахождения в поле вектор скорости протона повернется на угол $\theta$. Геометрически можно показать, что этот угол равен удвоенному углу влета $\alpha$.

$\theta = 2\alpha$

Время движения по дуге можно найти через угловую скорость $\omega$:

$t = \frac{\theta}{\omega}$

Угловую скорость движения по окружности (циклотронную частоту) можно выразить из уравнения движения:

$qvB = m \frac{v^2}{R} = m \frac{(\omega R)^2}{R} = m\omega^2 R$ (это неверный путь)

Проще: $\omega = \frac{v}{R}$. Из $qvB = \frac{mv^2}{R}$ получим $R = \frac{mv}{qB}$.

Тогда угловая скорость равна:

$\omega = \frac{v}{R} = \frac{v}{mv/qB} = \frac{qB}{m}$

Подставим выражения для $\theta$ и $\omega$ в формулу для времени. Угол $\alpha$ необходимо выразить в радианах.

$t = \frac{2\alpha m}{qB}$

Выполним вычисления:

$t = \frac{2 \cdot (\pi/4) \text{ рад} \cdot 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0.06 \text{ Тл}} = \frac{(\pi/2) \cdot 1.67 \cdot 10^{-27}}{0.096 \cdot 10^{-19}} \text{ с}$

$t = \frac{1.57 \cdot 1.67 \cdot 10^{-8}}{0.096} \text{ с} \approx \frac{2.6219 \cdot 10^{-8}}{0.096} \text{ с} \approx 27.3 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 2.73 \cdot 10^{-7} \text{ с}$

Ответ: время нахождения протона в магнитном поле примерно равно $2.73 \cdot 10^{-7} \text{ с}$.