Номер 1081, страница 244 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1081. Положительно заряженная частица, скорость которой $\vec{v}$, влетает в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ перпендикулярно линиям индукции магнитного поля (рис. 251). Угол между перпендикуляром к границе $CD$ магнитного поля и скоростью $\vec{v}$ частицы в момент ее влета в поле равен $\alpha$. Определите максимальную глубину $h$ проникновения частицы в область магнитного поля. Заряд частицы $q$, ее масса $m_0$.

Рис. 251

Дано:

Скорость частицы: $v$

Индукция магнитного поля: $B$

Угол влета частицы: $\alpha$

Заряд частицы: $q$

Масса частицы: $m_0$

Найти:

Максимальную глубину проникновения $h$.

Решение:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как частица влетает в поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, величина этой силы равна:

$F_Л = qvB$

Сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости частицы, поэтому она является центростремительной силой и заставляет частицу двигаться по траектории, представляющей собой дугу окружности. Модуль скорости частицы при этом остается постоянным.

Центростремительная сила, действующая на частицу, движущуюся по окружности радиусом $R$, определяется выражением:

$F_ц = \frac{m_0v^2}{R}$

Приравняв выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, найдем радиус окружности, по которой движется частица:

$qvB = \frac{m_0v^2}{R}$

Отсюда радиус траектории:

$R = \frac{m_0v}{qB}$

Теперь рассмотрим геометрию задачи. Максимальная глубина проникновения $h$ — это максимальное расстояние от частицы до границы поля CD. Траектория частицы — это дуга окружности радиуса $R$.

Пусть O — центр этой окружности. В момент влета в точке C вектор скорости $\vec{v}$ направлен по касательной к траектории. Радиус OC, проведенный к точке C, перпендикулярен касательной, то есть вектору скорости $\vec{v}$.

По условию, угол между вектором скорости $\vec{v}$ и перпендикуляром к границе CD равен $\alpha$. Так как радиус OC перпендикулярен вектору $\vec{v}$, а граница CD перпендикулярна своему перпендикуляру, угол между радиусом OC и границей CD также равен $\alpha$.

Максимальная глубина проникновения $h$ соответствует самой удаленной от линии CD точке на дуге траектории. Эту глубину можно найти как сумму расстояния от центра окружности O до линии CD и радиуса $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой O, точкой C и проекцией точки O на прямую CD. Гипотенуза этого треугольника равна радиусу $R$, а один из острых углов равен $\alpha$. Расстояние от центра O до линии CD — это катет, противолежащий углу $\alpha$. Его длина равна $R\sin\alpha$.

Таким образом, максимальная глубина проникновения $h$ равна:

$h = R\sin\alpha + R = R(1 + \sin\alpha)$

Подставим в это выражение ранее найденное значение радиуса $R$:

$h = \frac{m_0v}{qB}(1 + \sin\alpha)$

Ответ: Максимальная глубина проникновения частицы в область магнитного поля равна $h = \frac{m_0v}{qB}(1 + \sin\alpha)$.