Номер 1080, страница 244 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1080. Протон, движущийся со скоростью, модуль которой $v_0 = 240 \frac{\text{км}}{\text{с}}$, влетел в полосу однородного магнитного поля шириной $l = 5,0 \text{ см}$ перпендикулярно линиям индукции (рис. 250). Определите модуль индукции магнитного поля, если за время пролета полосы этого поля направление скорости протона изменилось на угол $\alpha = 30^{\circ}$.

Рис. 250

Дано:

$v_0 = 240 \frac{км}{с}$

$l = 5,0 \text{ см}$

$\alpha = 30^\circ$

Частица - протон, следовательно, его заряд $q = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ и масса $m = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 240 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 2,4 \cdot 10^5 \frac{м}{с}$

$l = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$B$ - модуль индукции магнитного поля.

Решение:

При движении протона в однородном магнитном поле на него действует сила Лоренца. Так как протон влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, то эта сила равна:

$F_Л = qv_0B$

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы, поэтому она сообщает ей центростремительное ускорение $a_ц$. По второму закону Ньютона:

$F_Л = ma_ц$

где $a_ц = \frac{v_0^2}{R}$, а $R$ - радиус кривизны траектории. Модуль скорости при этом не меняется.

Подставляя выражения для силы и ускорения, получаем:

$qv_0B = \frac{mv_0^2}{R}$

Из этого уравнения можно выразить радиус траектории протона в магнитном поле:

$R = \frac{mv_0}{qB}$

Рассмотрим геометрию движения протона. Он движется по дуге окружности. Начальная скорость протона перпендикулярна границе поля. За время пролета поля шириной $l$ вектор скорости поворачивается на угол $\alpha$. Из геометрических соображений (см. рис. 250), ширина поля $l$, радиус траектории $R$ и угол отклонения $\alpha$ связаны соотношением:

$l = R \sin\alpha$

Отсюда можно выразить радиус через известные величины:

$R = \frac{l}{\sin\alpha}$

Теперь приравняем два полученных выражения для радиуса $R$:

$\frac{mv_0}{qB} = \frac{l}{\sin\alpha}$

Из этого равенства выразим искомую величину - модуль индукции магнитного поля $B$:

$B = \frac{mv_0 \sin\alpha}{ql}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$B = \frac{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot 2,4 \cdot 10^5 \frac{м}{с} \cdot \sin{30^\circ}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}}$

Зная, что $\sin{30^\circ} = 0,5$, производим вычисления:

$B = \frac{1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 2,4 \cdot 10^5 \cdot 0,5}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 5,0 \cdot 10^{-2}} = \frac{2,004 \cdot 10^{-22}}{8,0 \cdot 10^{-21}} \approx 0,025 \text{ Тл}$

Переведем в миллитесла:

$B \approx 25 \text{ мТл}$

Ответ: модуль индукции магнитного поля approximately равен $25 \text{ мТл}$.