Номер 1073, страница 242 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1073. Протон, двигавшийся в однородном магнитном поле по окружности радиусом $R = 12 \text{ см}$, вылетел из него и попал в однородное электростатическое поле. Двигаясь против линий напряженности, протон остановился. Определите тормозящую разность потенциалов, которую прошел протон в электростатическом поле. Модуль индукции магнитного поля $B = 10 \text{ мТл}$. Отношение заряда протона к его массе $\frac{q_p}{m_p} = 9.6 \cdot 10^7 \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$.

Дано

$R = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$B = 10 \text{ мТл} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.01 \text{ Тл}$
$\frac{q_p}{m_p} = 9.6 \cdot 10^7 \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$

Найти:

$U$

Решение

Протон движется в однородном магнитном поле по окружности. Это означает, что сила Лоренца, действующая на него, является центростремительной силой. Запишем второй закон Ньютона:

$F_Л = F_ц$

$q_p v B = \frac{m_p v^2}{R}$

где $q_p$ – заряд протона, $m_p$ – масса протона, $v$ – его скорость, $B$ – модуль индукции магнитного поля, а $R$ – радиус окружности.

Из этого уравнения мы можем выразить скорость, с которой протон вылетает из магнитного поля:

$v = \frac{q_p B R}{m_p} = \left(\frac{q_p}{m_p}\right) B R$

После вылета из магнитного поля протон попадает в тормозящее электростатическое поле и останавливается. Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершенная электрическим полем, равна изменению кинетической энергии протона:

$A = \Delta K = K_{конечная} - K_{начальная}$

Так как протон останавливается, его конечная кинетическая энергия $K_{конечная} = 0$. Начальная кинетическая энергия $K_{начальная} = \frac{m_p v^2}{2}$.

$A = 0 - \frac{m_p v^2}{2} = -\frac{m_p v^2}{2}$

Работа электростатического поля по перемещению заряда $q_p$ через разность потенциалов $U$ равна:

$A = q_p (\phi_1 - \phi_2) = -q_p(\phi_2 - \phi_1) = -q_p U$

Знак минус появляется, потому что протон (положительный заряд) движется против линий напряженности, то есть в сторону увеличения потенциала, и поле совершает отрицательную работу.

Приравниваем два выражения для работы:

$-q_p U = -\frac{m_p v^2}{2}$

$U = \frac{m_p v^2}{2 q_p}$

Теперь подставим выражение для скорости $v$ в формулу для разности потенциалов $U$:

$U = \frac{m_p}{2 q_p} \left( \left(\frac{q_p}{m_p}\right) B R \right)^2 = \frac{m_p}{2 q_p} \frac{q_p^2}{m_p^2} B^2 R^2$

Упростив выражение, получим расчетную формулу:

$U = \frac{1}{2} \left(\frac{q_p}{m_p}\right) B^2 R^2$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$U = \frac{1}{2} \cdot (9.6 \cdot 10^7 \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}) \cdot (0.01 \text{ Тл})^2 \cdot (0.12 \text{ м})^2$

$U = 0.5 \cdot 9.6 \cdot 10^7 \cdot 10^{-4} \cdot 0.0144 = 4.8 \cdot 10^3 \cdot 0.0144 = 69.12 \text{ В}$

Ответ: тормозящая разность потенциалов равна $69.12 \text{ В}$.