Номер 1069, страница 241 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1069. Электрон, пройдя из состояния покоя в электростатическом поле разность потенциалов $\phi_1 - \phi_2 = -4,0 \text{ В}$, попадает в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 32 \text{ мТл}$. Определите радиус окружности, по которой движется электрон в магнитном поле.

Дано:

Разность потенциалов, $U_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 = -4,0$ В

Модуль магнитной индукции, $B = 32$ мТл

Начальная скорость электрона, $v_0 = 0$ м/с

Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг (справочное значение)

Модуль заряда электрона, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$B = 32 \text{ мТл} = 32 \cdot 10^{-3}$ Тл

Найти:

Радиус окружности, $R$

Решение:

1. Сначала найдем скорость, которую приобретает электрон, двигаясь в электростатическом поле. Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершаемая электрическим полем над электроном, равна изменению его кинетической энергии.

$A = \Delta W_k = W_{k2} - W_{k1}$

Так как электрон начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), его начальная кинетическая энергия $W_{k1} = 0$. Работа электрического поля по перемещению заряда $q$ между точками с разностью потенциалов $U_{12}$ равна:

$A = q \cdot (\varphi_1 - \varphi_2)$

Заряд электрона $q = -e$. Таким образом, работа поля над электроном:

$A = (-e) \cdot (\varphi_1 - \varphi_2) = (-e) \cdot (-4,0 \text{ В}) = 4,0 \cdot e \text{ Дж}$

Работа положительна, значит, поле является ускоряющим. Обозначим ускоряющее напряжение как $U = |\varphi_1 - \varphi_2| = 4,0$ В. Кинетическая энергия, которую приобретает электрон, равна:

$\frac{m_e v^2}{2} = eU$

Отсюда выразим скорость электрона $v$:

$v = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

2. Когда электрон с этой скоростью влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на него начинает действовать сила Лоренца $F_Л$. Эта сила является центростремительной и заставляет электрон двигаться по окружности.

$F_Л = e v B$

Центростремительная сила $F_{цс}$ для движения по окружности радиусом $R$ равна:

$F_{цс} = \frac{m_e v^2}{R}$

Приравниваем силу Лоренца и центростремительную силу:

$e v B = \frac{m_e v^2}{R}$

Выразим из этого уравнения радиус окружности $R$:

$R = \frac{m_e v}{e B}$

3. Подставим в полученную формулу для радиуса выражение для скорости $v$ из первого пункта:

$R = \frac{m_e}{e B} \sqrt{\frac{2eU}{m_e}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m_e^2}{e^2} \cdot \frac{2eU}{m_e}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_e U}{e}}$

4. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$R = \frac{1}{32 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} \sqrt{\frac{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 4,0 \text{ В}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}} \approx \frac{1}{0,032} \sqrt{\frac{7,288 \cdot 10^{-30}}{1,6 \cdot 10^{-19}}} \approx 31,25 \cdot \sqrt{4,555 \cdot 10^{-11}} \approx 31,25 \cdot 6,75 \cdot 10^{-6} \text{ м} \approx 2,1 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры: $2,1 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0,21 \text{ мм}$.

Ответ: $R \approx 2,1 \cdot 10^{-4} \text{ м}$ или $0,21 \text{ мм}$.