Номер 1062, страница 239 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1062. Протон и ион неона движутся по окружностям в однородном магнитном поле. Определите частоту обращения иона неона, если период обращения протона $T_p = 50$ мкс. Заряды протона и иона одинаковы. Масса иона в $n = 20$ раз больше массы протона.

Дано:

$T_p = 50$ мкс $= 50 \cdot 10^{-6}$ с

$n = \frac{m_i}{m_p} = 20$

$q_i = q_p$

Найти:

$\nu_i$ - ?

Решение:

Когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, на нее действует сила Лоренца, которая заставляет частицу двигаться по окружности. Эта сила является центростремительной силой.

$F_Л = F_{цс}$

$q v B = \frac{m v^2}{R}$

где $q$ – заряд частицы, $v$ – ее скорость, $B$ – индукция магнитного поля, $m$ – масса частицы, $R$ – радиус окружности.

Период обращения $T$ – это время, за которое частица совершает один полный оборот. Он определяется по формуле:

$T = \frac{2 \pi R}{v}$

Из уравнения для силы Лоренца выразим отношение $\frac{R}{v}$:

$q B = \frac{m v}{R} \implies \frac{R}{v} = \frac{m}{q B}$

Подставим это выражение в формулу для периода:

$T = 2 \pi \left( \frac{m}{q B} \right) = \frac{2 \pi m}{q B}$

Эта формула показывает, что период обращения частицы в магнитном поле зависит только от ее массы, заряда и индукции магнитного поля, но не зависит от скорости частицы и радиуса траектории.

Запишем выражения для периода обращения протона ($T_p$) и иона неона ($T_i$):

$T_p = \frac{2 \pi m_p}{q_p B}$

$T_i = \frac{2 \pi m_i}{q_i B}$

Поскольку обе частицы движутся в одном и том же поле, индукция $B$ одинакова. По условию задачи, заряды частиц равны ($q_p = q_i$), а масса иона неона в $n=20$ раз больше массы протона ($m_i = n \cdot m_p$).

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_i}{T_p} = \frac{\frac{2 \pi m_i}{q_i B}}{\frac{2 \pi m_p}{q_p B}} = \frac{m_i}{m_p} \cdot \frac{q_p}{q_i} = \frac{n \cdot m_p}{m_p} \cdot \frac{q_p}{q_p} = n$

Таким образом, период обращения иона неона:

$T_i = n \cdot T_p$

Частота обращения $\nu$ – это величина, обратная периоду ($ \nu = \frac{1}{T} $). Найдем частоту обращения иона неона:

$\nu_i = \frac{1}{T_i} = \frac{1}{n \cdot T_p}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\nu_i = \frac{1}{20 \cdot 50 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = \frac{1}{1000 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = \frac{1}{10^{-3} \text{ с}} = 1000 \text{ Гц}$

Переведем в килогерцы: $1000 \text{ Гц} = 1 \text{ кГц}$.

Ответ: частота обращения иона неона равна $1$ кГц.