Номер 1058, страница 239 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1058. Два иона с одинаковыми зарядами и кинетическими энергиями влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Определите отношение масс ионов, если один из ионов описал в магнитном поле окружность радиусом $R_1 = 6,0$ мм, а второй — $R_2 = 3,0$ мм.

Дано:

$q_1 = q_2 = q$ (заряды ионов одинаковы)

$E_{k1} = E_{k2} = E_k$ (кинетические энергии ионов одинаковы)

$R_1 = 6,0 \text{ мм} = 6,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$R_2 = 3,0 \text{ мм} = 3,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Отношение масс ионов: $\frac{m_1}{m_2}$

Решение:

Когда заряженный ион влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на него действует сила Лоренца. Эта сила является центростремительной и заставляет ион двигаться по окружности. Величина силы Лоренца $F_Л$ равна:

$F_Л = qvB$

где $q$ – заряд иона, $v$ – его скорость, $B$ – индукция магнитного поля.

Центростремительная сила $F_ц$, действующая на ион, движущийся по окружности радиусом $R$, определяется по второму закону Ньютона:

$F_ц = \frac{mv^2}{R}$

где $m$ – масса иона.

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого уравнения можно выразить радиус траектории иона:

$R = \frac{mv}{qB}$

Кинетическая энергия иона связана с его массой и скоростью соотношением:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Выразим из этой формулы скорость $v$:

$v^2 = \frac{2E_k}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$

Теперь подставим выражение для скорости в формулу для радиуса:

$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \frac{1}{qB} \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2E_k}{m}} = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$

Мы получили зависимость радиуса траектории от массы иона. Запишем это выражение для двух ионов, учитывая, что по условию задачи их заряды $q$ и кинетические энергии $E_k$ равны, и они движутся в одном и том же магнитном поле $B$:

$R_1 = \frac{\sqrt{2m_1E_k}}{qB}$

$R_2 = \frac{\sqrt{2m_2E_k}}{qB}$

Чтобы найти отношение масс, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{\sqrt{2m_1E_k}}{qB}}{\frac{\sqrt{2m_2E_k}}{qB}} = \frac{\sqrt{2m_1E_k}}{\sqrt{2m_2E_k}} = \sqrt{\frac{2m_1E_k}{2m_2E_k}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

Из полученного соотношения $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ выразим искомое отношение масс, возведя обе части в квадрат:

$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$

Подставим числовые значения радиусов:

$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{6,0 \text{ мм}}{3,0 \text{ мм}}\right)^2 = \left(2,0\right)^2 = 4,0$

Ответ: отношение масс ионов $\frac{m_1}{m_2}$ равно 4.