Номер 1061, страница 239 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1061. Протон и электрон движутся по окружностям в однородном магнитном поле. Определите отношение угловых скоростей движения частиц.

Дано:
$m_p$ - масса протона
$m_e$ - масса электрона
$q_p = e$ - заряд протона
$q_e = -e$ - заряд электрона
$B$ - индукция однородного магнитного поля

Найти:
$\frac{\omega_p}{\omega_e}$ - отношение угловых скоростей

Решение:
Когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, на нее действует сила Лоренца. Эта сила является центростремительной и заставляет частицу двигаться по окружности.
Сила Лоренца определяется выражением: $F_Л = |q|vB$, где $|q|$ - модуль заряда частицы, $v$ - ее скорость, $B$ - индукция магнитного поля.
Центростремительная сила равна: $F_ц = \frac{mv^2}{r}$, где $m$ - масса частицы, а $r$ - радиус окружности.
Приравнивая эти две силы, получаем:
$|q|vB = \frac{mv^2}{r}$
Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ через радиус: $v = \omega r$. Подставим это соотношение в уравнение:
$|q|(\omega r)B = \frac{m(\omega r)^2}{r}$
Упростим выражение:
$|q|\omega r B = m\omega^2 r$
Сокращая на $\omega r$ (поскольку движение происходит, $\omega \ne 0$ и $r \ne 0$), находим формулу для угловой скорости (циклотронной частоты):
$\omega = \frac{|q|B}{m}$
Эта формула показывает, что угловая скорость зависит от удельного заряда частицы ($\frac{|q|}{m}$) и индукции магнитного поля, но не зависит от скорости частицы и радиуса траектории.
Для протона и электрона модули зарядов одинаковы и равны элементарному заряду $e$. Запишем угловые скорости для каждой частицы:
Угловая скорость протона: $\omega_p = \frac{eB}{m_p}$
Угловая скорость электрона: $\omega_e = \frac{eB}{m_e}$
Теперь найдем отношение угловой скорости протона к угловой скорости электрона:
$\frac{\omega_p}{\omega_e} = \frac{\frac{eB}{m_p}}{\frac{eB}{m_e}} = \frac{eB}{m_p} \cdot \frac{m_e}{eB} = \frac{m_e}{m_p}$
Отношение угловых скоростей обратно пропорционально отношению масс частиц.

Ответ: Отношение угловой скорости протона к угловой скорости электрона равно обратному отношению их масс: $\frac{\omega_p}{\omega_e} = \frac{m_e}{m_p}$.