Номер 1057, страница 238 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1057. Ионы азота $N^+$ и $N^{2+}$ движутся по окружностям в однородном магнитном поле. Определите отношение радиусов окружностей, которые описывают ионы, если их кинетические энергии одинаковы. Массы ионов считать равными.

Дано:

Ион 1: N⁺

Ион 2: N²⁺

Кинетические энергии ионов равны: $E_{k1} = E_{k2} = E_k$

Массы ионов равны: $m_1 = m_2 = m$

Заряд иона N⁺: $q_1 = e$ (где $e$ - элементарный заряд)

Заряд иона N²⁺: $q_2 = 2e$

Магнитное поле однородно: $B$

Найти:

Отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2}$

Решение:

На ион, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F_L$. Если скорость иона перпендикулярна вектору магнитной индукции, эта сила является центростремительной $F_c$ и заставляет ион двигаться по окружности.

$F_L = qvB$

Центростремительная сила определяется выражением:

$F_c = \frac{mv^2}{R}$

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого соотношения выразим радиус окружности $R$:

$R = \frac{mv}{qB}$

По условию задачи, кинетические энергии ионов одинаковы. Кинетическая энергия $E_k$ связана с массой $m$ и скоростью $v$ следующим образом:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Выразим импульс $mv$ через кинетическую энергию:

$v^2 = \frac{2E_k}{m} \implies v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$

$mv = m \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2E_k}{m}} = \sqrt{2mE_k}$

Подставим полученное выражение для импульса в формулу для радиуса:

$R = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$

Теперь мы можем записать формулы для радиусов орбит каждого иона.

Для иона N⁺ (индекс 1) заряд $q_1 = e$:

$R_1 = \frac{\sqrt{2mE_k}}{eB}$

Для иона N²⁺ (индекс 2) заряд $q_2 = 2e$:

$R_2 = \frac{\sqrt{2mE_k}}{2eB}$

Найдем отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2}$:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{\sqrt{2mE_k}}{eB}}{\frac{\sqrt{2mE_k}}{2eB}} = \frac{\sqrt{2mE_k}}{eB} \cdot \frac{2eB}{\sqrt{2mE_k}}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{R_1}{R_2} = 2$

Ответ: 2.