Номер 1064, страница 239 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1064. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле, модуль индукции которого $B = 20 \text{ мТл}$. Модуль импульса электрона $p = 6,4 \cdot 10^{-24} \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$. Определите радиус окружности, модуль центростремительного ускорения и кинетическую энергию электрона.

Дано:

$B = 20 \text{ мТл}$
$p = 6,4 \cdot 10^{-24} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$
$q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (заряд электрона)
$m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ (масса электрона)

$B = 20 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,02 \text{ Тл}$

Найти:

$R - ?$
$a_ц - ?$
$E_к - ?$

Решение:

радиус окружности

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F_Л$. Так как электрон движется по окружности, его скорость перпендикулярна вектору магнитной индукции. Сила Лоренца является центростремительной силой $F_ц$:
$F_Л = F_ц$
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
где $q$ — заряд электрона, $v$ — его скорость, $B$ — модуль магнитной индукции, $m$ — масса электрона, $R$ — радиус окружности.
Учитывая, что импульс электрона $p = mv$, преобразуем уравнение:
$qB = \frac{mv}{R} = \frac{p}{R}$
Отсюда выражаем радиус окружности:
$R = \frac{p}{qB}$
Подставим числовые значения:
$R = \frac{6,4 \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,02 \text{ Тл}} = \frac{6,4 \cdot 10^{-24}}{0,032 \cdot 10^{-19}} \text{ м} = 200 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2 \text{ мм}$
Ответ: радиус окружности равен $2 \text{ мм}$.

модуль центростремительного ускорения

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано со скоростью и радиусом формулой:
$a_ц = \frac{v^2}{R}$
Скорость электрона найдем из формулы импульса: $v = \frac{p}{m}$.
Подставим выражения для скорости и радиуса в формулу ускорения:
$a_ц = \frac{(\frac{p}{m})^2}{R} = \frac{p^2}{m^2 R} = \frac{p^2}{m^2 \cdot \frac{p}{qB}} = \frac{pqB}{m^2}$
Выполним вычисления:
$a_ц = \frac{6,4 \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,02 \text{ Тл}}{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг})^2} = \frac{2,048 \cdot 10^{-45}}{82,81 \cdot 10^{-62}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 2,47 \cdot 10^{16} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
Ответ: модуль центростремительного ускорения примерно равен $2,47 \cdot 10^{16} \text{ м/с}^2$.

кинетическую энергию электрона

Кинетическая энергия $E_к$ вычисляется по формуле:
$E_к = \frac{mv^2}{2}$
Эту формулу удобно выразить через импульс $p = mv$:
$E_к = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$
Подставим известные значения:
$E_к = \frac{(6,4 \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с})^2}{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} = \frac{40,96 \cdot 10^{-48} \text{ кг}^2 \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{18,2 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 2,25 \cdot 10^{-17} \text{ Дж}$
Ответ: кинетическая энергия электрона примерно равна $2,25 \cdot 10^{-17} \text{ Дж}$.