Номер 1065, страница 240 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1065. Два иона, вылетевшие одновременно из точки O (рис. 246), равномерно двигались по окружностям под действием однородного магнитного поля, линии индукции которого перпендикулярны скорости движения ионов. На рисунке показаны траектории ионов, по которым они двигались в течение одинакового промежутка времени. Масса первого иона $m_1 = 9,0 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$. Определите массу второго иона, если модули зарядов ионов одинаковы. Силой тяжести, действующей на ионы, и их взаимодействием пренебречь.

Рис. 246

Дано:

$m_1 = 9,0 \cdot 10^{-26}$ кг

$|q_1| = |q_2| = q$

$t_1 = t_2 = t$ (время движения одинаково)

$B = \text{const}$ (магнитное поле однородно)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$m_2$

Решение:

На заряженную частицу (ион), движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перпендикулярен скорости иона $\vec{v}$, эта сила является центростремительной и заставляет ион двигаться по окружности. Величина силы Лоренца определяется формулой:

$F_Л = qvB$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы иона на его центростремительное ускорение:

$F_Л = ma_ц = m\frac{v^2}{R}$

где $m$ — масса иона, $v$ — его скорость, $R$ — радиус окружности.

Приравнивая правые части двух выражений для силы, получаем:

$qvB = m\frac{v^2}{R}$

Период обращения иона по окружности $T$ — это время, за которое он совершает один полный оборот. Он равен отношению длины окружности $2\pi R$ к скорости движения $v$:

$T = \frac{2\pi R}{v}$

Из уравнения $qvB = m\frac{v^2}{R}$ можно выразить отношение $\frac{R}{v} = \frac{m}{qB}$. Подставим это выражение в формулу для периода:

$T = 2\pi \left(\frac{m}{qB}\right) = \frac{2\pi m}{qB}$

Из этой формулы видно, что период обращения иона в однородном магнитном поле зависит от его массы и заряда, но не зависит от скорости и радиуса траектории.

Проанализируем траектории ионов, показанные на рисунке. За одинаковый промежуток времени $t$ первый ион (траектория 1) прошел дугу, составляющую четверть окружности ($90^\circ$). Второй ион (траектория 2) за то же время прошел дугу, составляющую половину окружности ($180^\circ$).

Пусть $T_1$ и $T_2$ — периоды обращения первого и второго ионов соответственно. Тогда время их движения $t$ можно выразить через их периоды:

Для первого иона: $t = \frac{1}{4} T_1$

Для второго иона: $t = \frac{1}{2} T_2$

Поскольку время движения ионов одинаково, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$\frac{T_1}{4} = \frac{T_2}{2}$

Отсюда получаем соотношение между периодами: $T_1 = 2T_2$.

Теперь подставим в это соотношение формулу для периода, выраженную через массу и заряд, для каждого иона:

$\frac{2\pi m_1}{qB} = 2 \cdot \frac{2\pi m_2}{qB}$

Поскольку ионы движутся в одном и том же магнитном поле ($B = \text{const}$) и имеют одинаковые по модулю заряды ($q = \text{const}$), мы можем сократить общие множители ($2\pi$, $q$, $B$) в обеих частях уравнения:

$m_1 = 2m_2$

Из этого соотношения выразим массу второго иона $m_2$:

$m_2 = \frac{m_1}{2}$

Подставим известное значение массы первого иона:

$m_2 = \frac{9,0 \cdot 10^{-26} \text{ кг}}{2} = 4,5 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

Ответ: масса второго иона равна $4,5 \cdot 10^{-26}$ кг.