Номер 1071, страница 241 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1071. Частица массой $m = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$ и зарядом $q = 10 \text{ мкКл}$, покоящаяся в начальный момент времени, ускоряется однородным электростатическим полем, модуль напряженности которого $E=10 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$, в течение промежутка времени $\Delta t = 1,0 \text{ мс}$. Затем она влетает в однородное магнитное поле, модуль индукции которого $B = 3,14 \text{ Тл}$. Скорость движения частицы перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Определите:

a) модуль силы Лоренца, действующей на частицу в магнитном поле;

б) время пребывания частицы в магнитном поле, если ее траекторией движения в магнитном поле является полуокружность.

Дано

m = 1,0 ⋅ 10^-6 кг

q = 10 мкКл = 10 ⋅ 10^-6 Кл

v₀ = 0 м/с

E = 10 кВ/м = 10 ⋅ 10³ В/м

Δt = 1,0 мс = 1,0 ⋅ 10^-3 с

B = 3,14 Тл

α = 90°

Найти:

a) F_Л - ?

б) t_магн - ?

Решение

а) модуль силы Лоренца, действующей на частицу в магнитном поле;

Сначала найдем скорость, которую приобрела частица, двигаясь в электрическом поле. Сила, действующая на частицу в электрическом поле, равна $F_э = qE$.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает частице ускорение $a = \frac{F_э}{m} = \frac{qE}{m}$.

Поскольку начальная скорость частицы равна нулю ($v_0 = 0$), ее скорость в момент влета в магнитное поле после ускорения в течение времени $\Delta t$ будет равна:

$v = a\Delta t = \frac{qE\Delta t}{m}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10 \cdot 10^3 \text{ В/м} \cdot 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ с}}{1,0 \cdot 10^{-6} \text{ кг}} = 100 \text{ м/с}$

Сила Лоренца, действующая на частицу в магнитном поле, вычисляется по формуле: $F_Л = |q|vB\sin\alpha$.

По условию, скорость движения частицы перпендикулярна линиям индукции магнитного поля, следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$ и $\sin\alpha = 1$.

Тогда модуль силы Лоренца равен:

$F_Л = qvB = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 100 \text{ м/с} \cdot 3,14 \text{ Тл} = 3,14 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

Ответ: $F_Л = 3,14 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$ (или $3,14 \text{ мН}$).

б) время пребывания частицы в магнитном поле, если ее траекторией движения в магнитном поле является полуокружность.

Когда заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, она начинает двигаться по окружности под действием силы Лоренца, которая является центростремительной силой.

Время движения по полуокружности равно половине периода обращения частицы по полной окружности: $t_{магн} = \frac{T}{2}$.

Период обращения $T$ можно найти, приравняв силу Лоренца к центростремительной силе:

$F_Л = F_{ц} \implies qvB = \frac{mv^2}{r}$

Отсюда можно выразить радиус траектории: $r = \frac{mv}{qB}$.

Период обращения — это время, за которое частица проходит всю окружность, т.е. $T = \frac{2\pi r}{v}$. Подставив выражение для радиуса, получим:

$T = \frac{2\pi}{v} \left(\frac{mv}{qB}\right) = \frac{2\pi m}{qB}$

Как видно, период обращения не зависит от скорости частицы и радиуса ее траектории.

Тогда время пребывания частицы в магнитном поле, за которое она описывает полуокружность, равно:

$t_{магн} = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi m}{qB} = \frac{\pi m}{qB}$

Подставим числовые значения. Учитывая, что $B=3,14$ Тл, можно принять $\pi \approx 3,14$.

$t_{магн} = \frac{3,14 \cdot 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 3,14 \text{ Тл}} = \frac{1,0 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot 10^{-6}} = 0,1 \text{ с}$

Ответ: $t_{магн} = 0,1 \text{ с}$.