Номер 1072, страница 242 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1072. На рисунке 248 изображен простейший масс-спектрограф, в котором модуль индукции однородного магнитного поля $B = 0,10$ Тл. В ионизаторе И образуются ионы, которые ускоряются электростатическим полем с разностью потенциалов $U = 10$ кВ и пролетают сквозь щель M. Двигаясь в магнитном поле по дуге окружности, ионы попадают на фотопластинку AC, вызывая ее почернение. Определите расстояние от щели M до темной полосы на фотопластинке, если в магнитное поле влетели ионы водорода:

а) дейтерия ($m_1 = 3,34 \cdot 10^{-27}$ кг, $q_1 = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл);

б) трития ($m_2 = 5,0 \cdot 10^{-27}$ кг, $q_2 = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл).

Траекториями движения ионов в магнитном поле являются полуокружности.

Рис. 248

Дано:

$B = 0,10 \text{ Тл}$

$U = 10 \text{ кВ} = 10^4 \text{ В}$

$m_1 = 3,34 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$q_1 = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

$m_2 = 5,0 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$q_2 = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

$d_1$ — ?

$d_2$ — ?

Решение:

Сначала ионы ускоряются в электростатическом поле. Согласно теореме о кинетической энергии, работа электрического поля по перемещению заряда равна изменению его кинетической энергии. Будем считать начальную скорость ионов равной нулю.

$A = \Delta E_k \implies qU = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда можно выразить скорость иона $v$, с которой он влетает в магнитное поле:

$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

В магнитном поле на ион действует сила Лоренца $F_Л$. Так как ион влетает в поле перпендикулярно вектору магнитной индукции $\vec{B}$, сила Лоренца перпендикулярна скорости иона и сообщает ему центростремительное ускорение. В результате ион движется по дуге окружности. По второму закону Ньютона:

$F_Л = ma_c$

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

где $R$ — радиус окружности. Из этого соотношения найдем радиус траектории иона:

$R = \frac{mv}{qB}$

Подставим в полученную формулу для радиуса выражение для скорости $v$:

$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2qU}{q^2 m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$

Из рисунка видно, что ион движется по полуокружности. Следовательно, расстояние $d$ от щели $M$ до темной полосы на фотопластинке равно диаметру этой окружности:

$d = 2R = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$

Теперь рассчитаем это расстояние для каждого изотопа водорода.

а) Для иона дейтерия ($m_1, q_1$):

$d_1 = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2m_1 U}{q_1}} = \frac{2}{0,10} \sqrt{\frac{2 \cdot 3,34 \cdot 10^{-27} \cdot 10^4}{1,6 \cdot 10^{-19}}} \approx 20 \sqrt{\frac{6,68 \cdot 10^{-23}}{1,6 \cdot 10^{-19}}} \approx 20 \sqrt{4,175 \cdot 10^{-4}} \approx 0,409 \text{ м}.$

С учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), округляем результат:

$d_1 \approx 0,41 \text{ м}.$

Ответ: 0,41 м.

б) Для иона трития ($m_2, q_2$):

$d_2 = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2m_2 U}{q_2}} = \frac{2}{0,10} \sqrt{\frac{2 \cdot 5,0 \cdot 10^{-27} \cdot 10^4}{1,6 \cdot 10^{-19}}} = 20 \sqrt{\frac{10 \cdot 10^{-23}}{1,6 \cdot 10^{-19}}} = 20 \sqrt{6,25 \cdot 10^{-4}} = 20 \cdot 2,5 \cdot 10^{-2} = 0,50 \text{ м}.$

Ответ: 0,50 м.