Номер 828, страница 181 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

828. К источнику тока были подключены две одинаковые лампочки, соединенные между собой последовательно. После того как к одной из лампочек параллельно подключили еще одну такую же лампочку, сила тока в цепи увеличилась в $n = 1,3$ раза. Во сколько раз сопротивление одной лампочки больше внутреннего сопротивления источника?

Дано:

$n = \frac{I_2}{I_1} = 1,3$

Найти:

$\frac{R}{r}$

Решение:

Пусть сопротивление каждой лампочки равно $R$, а внутреннее сопротивление источника тока — $r$. ЭДС источника обозначим как $ε$.

В первом случае две одинаковые лампочки соединены последовательно. Общее внешнее сопротивление цепи $R_1$ равно сумме их сопротивлений:
$R_1 = R + R = 2R$

Сила тока в цепи $I_1$ определяется по закону Ома для полной цепи:
$I_1 = \frac{ε}{R_1 + r} = \frac{ε}{2R + r}$

Во втором случае к одной из лампочек параллельно подключили еще одну такую же. Найдем сопротивление этого параллельного участка ($R_p$):
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$
$R_p = \frac{R}{2}$

Этот участок соединен последовательно с другой лампочкой. Новое общее внешнее сопротивление цепи $R_2$ будет:
$R_2 = R + R_p = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$

Новая сила тока в цепи $I_2$ равна:
$I_2 = \frac{ε}{R_2 + r} = \frac{ε}{\frac{3R}{2} + r}$

По условию задачи, $I_2 = n \cdot I_1$. Подставим в это соотношение выражения для токов:
$\frac{ε}{\frac{3R}{2} + r} = n \cdot \frac{ε}{2R + r}$

Сократим $ε$ в обеих частях уравнения и преобразуем его:
$2R + r = n \cdot (\frac{3R}{2} + r)$
$2R + r = \frac{3n}{2}R + nr$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $R$, в одной части, а слагаемые, содержащие $r$, — в другой:
$2R - \frac{3n}{2}R = nr - r$
$R(2 - \frac{3n}{2}) = r(n-1)$

Отсюда найдем искомое отношение $\frac{R}{r}$:
$\frac{R}{r} = \frac{n-1}{2 - \frac{3n}{2}}$

Подставим численное значение $n = 1,3$:
$\frac{R}{r} = \frac{1,3 - 1}{2 - \frac{3 \cdot 1,3}{2}} = \frac{0,3}{2 - \frac{3,9}{2}} = \frac{0,3}{2 - 1,95} = \frac{0,3}{0,05} = 6$

Ответ: сопротивление одной лампочки больше внутреннего сопротивления источника в 6 раз.