Номер 833, страница 182 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

833. Какая относительная погрешность измерения ЭДС источника тока будет допущена, если показание школьного лабораторного вольтметра, присоединенного к его полюсам, принять за ЭДС источника тока? Внутреннее сопротивление источника тока $r = 5,0 \text{ Ом}$, сопротивление вольтметра $R_V = 2,0 \text{ кОм}$. Во сколько раз сопротивление внешнего участка должно быть больше сопротивления источника тока, чтобы при измерении ЭДС источника тока ошибка не превышала $1 \%$?

Какая относительная погрешность измерения ЭДС источника тока будет допущена, если показание школьного лабораторного вольтметра, присоединенного к его полюсам, принять за ЭДС источника тока?

Дано:

Внутреннее сопротивление источника: $r = 5,0$ Ом

Сопротивление вольтметра: $R_V = 2,0$ кОм

Перевод в СИ:

$R_V = 2,0 \cdot 10^3 \text{ Ом} = 2000 \text{ Ом}$

Найти:

Относительную погрешность $\epsilon$

Решение:

Когда вольтметр с сопротивлением $R_V$ подключается к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, он выступает в роли внешней нагрузки. По закону Ома для полной цепи, ток в цепи равен:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_V + r}$

Вольтметр измеряет напряжение на своих зажимах, которое мы принимаем за ЭДС. Это напряжение $U_V$ равно:

$U_V = I \cdot R_V = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{R_V + r}$

Абсолютная погрешность измерения – это разность между истинным значением ЭДС и измеренным напряжением:

$\Delta \mathcal{E} = |\mathcal{E} - U_V| = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{R_V + r} = \frac{\mathcal{E}(R_V + r) - \mathcal{E} R_V}{R_V + r} = \frac{\mathcal{E} \cdot r}{R_V + r}$

Относительная погрешность $\epsilon$ – это отношение абсолютной погрешности к истинному значению ЭДС:

$\epsilon = \frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}} = \frac{\frac{\mathcal{E} \cdot r}{R_V + r}}{\mathcal{E}} = \frac{r}{R_V + r}$

Подставим числовые значения из условия:

$\epsilon = \frac{5,0}{2000 + 5,0} = \frac{5}{2005} \approx 0,00249$

Для выражения в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$\epsilon \approx 0,00249 \cdot 100\% \approx 0,25\%$

Ответ: Относительная погрешность измерения ЭДС составит примерно 0,25%.

Во сколько раз сопротивление внешнего участка должно быть больше сопротивления источника тока, чтобы при измерении ЭДС источника тока ошибка не превышала 1 %?

Дано:

Максимально допустимая относительная погрешность: $\epsilon_{max} = 1\% = 0,01$

Найти:

Соотношение $\frac{R}{r}$, где $R$ – сопротивление внешнего участка цепи.

Решение:

Воспользуемся формулой для относительной погрешности, полученной в первой части, заменив сопротивление вольтметра $R_V$ на сопротивление произвольного внешнего участка $R$:

$\epsilon = \frac{r}{R + r}$

По условию, погрешность не должна превышать 1%, следовательно:

$\epsilon \le 0,01$

$\frac{r}{R + r} \le 0,01$

Решим это неравенство относительно отношения $\frac{R}{r}$:

$r \le 0,01 \cdot (R + r)$

$r \le 0,01R + 0,01r$

$r - 0,01r \le 0,01R$

$0,99r \le 0,01R$

Разделим обе части неравенства на $0,01r$ (так как $r>0$):

$\frac{0,99}{0,01} \le \frac{R}{r}$

$99 \le \frac{R}{r}$

Это означает, что сопротивление внешнего участка $R$ должно быть как минимум в 99 раз больше внутреннего сопротивления $r$.

Ответ: Сопротивление внешнего участка должно быть больше сопротивления источника тока в 99 раз или более.