Номер 575, страница 173 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

575. Расстояние между пламенем свечи и его прямым изображением в тонкой линзе $l = 90$ мм. Высота пламени свечи в $n = 2,5$ раза больше высоты его изображения. Определите оптическую силу линзы.

Дано:

$l = 90$ мм
$n = 2,5$

Перевод в систему СИ:
$l = 0,09$ м

Найти:

$D$ — оптическая сила линзы.

Решение:

По условию задачи, изображение, создаваемое линзой, является прямым (неперевернутым). Также дано, что высота пламени свечи (предмета) $H$ в $n = 2,5$ раза больше высоты его изображения $h$. Это означает, что изображение уменьшенное. Прямое и уменьшенное изображение может дать только рассеивающая линза. Такое изображение всегда является мнимым и расположено с той же стороны от линзы, что и предмет.

Обозначим расстояние от предмета до линзы как $d$, а расстояние от изображения до линзы как $f$. Для рассеивающей линзы мнимое изображение всегда находится ближе к линзе, чем предмет. Расстояние между предметом и его мнимым изображением $l$ равно разности их расстояний до линзы (поскольку они находятся по одну сторону):

$l = d - f$

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ определяется отношением высоты изображения к высоте предмета, а также отношением расстояний до них:

$\Gamma = \frac{h}{H} = \frac{f}{d}$

Из условия задачи $H = n \cdot h$, следовательно, увеличение равно:

$\Gamma = \frac{h}{n \cdot h} = \frac{1}{n}$

Приравняем два выражения для увеличения и найдем связь между $d$ и $f$:

$\frac{f}{d} = \frac{1}{n} \implies f = \frac{d}{n}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $d$ и $f$:

$ \begin{cases} d - f = l \\ f = d/n \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $d$:

$d - \frac{d}{n} = l \implies d\left(1 - \frac{1}{n}\right) = l$

$d = \frac{l}{1 - 1/n} = \frac{0.09}{1 - 1/2.5} = \frac{0.09}{1 - 0.4} = \frac{0.09}{0.6} = 0.15$ м.

Теперь найдем расстояние $f$:

$f = \frac{d}{n} = \frac{0.15}{2.5} = 0.06$ м.

Для нахождения оптической силы $D$ воспользуемся формулой тонкой линзы:

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f_{img}}$

В этой формуле необходимо учитывать знаки. Расстояние до предмета $d$ всегда положительно. Поскольку линза рассеивающая, а изображение мнимое, расстояние до изображения $f_{img}$ принимается отрицательным: $f_{img} = -f = -0.06$ м. Фокусное расстояние $F$ и оптическая сила $D$ для рассеивающей линзы также отрицательны.

Подставляем числовые значения:

$D = \frac{1}{0.15} + \frac{1}{-0.06} = \frac{1}{0.15} - \frac{1}{0.06}$

Проведем вычисления:

$D = \frac{1}{0.15} - \frac{1}{0.06} = \frac{0.06 - 0.15}{0.15 \cdot 0.06} = \frac{-0.09}{0.009} = -10$ дптр.

Ответ: $D = -10$ дптр.