Номер 576, страница 174 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

576. Расстояние между пламенем свечи и его прямым изображением в тонкой линзе $l = 32 \text{ мм}$. Высота пламени свечи в $\Gamma = 1,8$ раза больше высоты его изображения в линзе. Определите расстояние от линзы до изображения свечи и фокусное расстояние линзы.

Дано:

$l = 32 \text{ мм}$

$Γ = \frac{H}{h} = 1,8$

Изображение прямое.

$l = 32 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$f - ?$

$F - ?$

Решение:

Обозначим расстояние от пламени свечи (предмета) до линзы как $d$, а расстояние от линзы до изображения как $f$. Высоту предмета обозначим как $H$, а высоту изображения как $h$.

По условию, изображение является прямым. В тонкой линзе прямое изображение всегда мнимое. Мнимое изображение находится по ту же сторону от линзы, что и предмет.

Из условия известно, что высота пламени в $Γ = 1,8$ раза больше высоты изображения, то есть $\frac{H}{h} = 1,8$. Это означает, что изображение уменьшенное. Прямое, мнимое и уменьшенное изображение даёт рассеивающая линза.

Поперечное увеличение линзы $k$ равно отношению высоты изображения к высоте предмета: $k = \frac{h}{H} = \frac{1}{Γ} = \frac{1}{1,8}$.

Также увеличение линзы связано с расстояниями от предмета и изображения до линзы: $k = \frac{f}{d}$.

Из этих двух выражений для увеличения получаем первое уравнение: $\frac{f}{d} = \frac{1}{1,8}$, откуда $d = 1,8f$.

Так как предмет и его мнимое изображение находятся по одну сторону от линзы, а изображение уменьшенное ($k < 1$, следовательно $f < d$), расстояние между ними $l$ равно разности расстояний от них до линзы:

$l = d - f$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} d = 1,8f \\ d - f = l \end{cases}$

Подставим выражение для $d$ из первого уравнения во второе:

$1,8f - f = l$

$0,8f = l$

Теперь можем найти расстояние от линзы до изображения $f$:

$f = \frac{l}{0,8} = \frac{32 \text{ мм}}{0,8} = 40 \text{ мм}$.

Далее найдем расстояние от предмета до линзы $d$:

$d = 1,8f = 1,8 \cdot 40 \text{ мм} = 72 \text{ мм}$.

Для нахождения фокусного расстояния линзы $F$ воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f_{изобр}}$

В этой формуле для мнимого изображения расстояние $f_{изобр}$ берется со знаком минус ($f_{изобр} = -f$). Таким образом, формула для нашего случая (рассеивающая линза) принимает вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f}$

Подставим найденные значения $d$ и $f$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{72} - \frac{1}{40}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 72 и 40 равно 360.

$\frac{1}{F} = \frac{5}{360} - \frac{9}{360} = -\frac{4}{360} = -\frac{1}{90}$

Из этого выражения находим фокусное расстояние:

$F = -90 \text{ мм}$.

Отрицательное значение фокусного расстояния подтверждает, что линза является рассеивающей.

Ответ: расстояние от линзы до изображения свечи равно 40 мм, фокусное расстояние линзы равно -90 мм.