Номер 583, страница 174 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

583. Два одинаковых стержня расположены перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстояниях $d_1 = 15 \text{ см}$ и $d_2 = 75 \text{ см}$ от линзы. Фокусное расстояние линзы $F = 40 \text{ см}$. Определите высоту изображения первого стержня, если высота изображения второго стержня $H_2 = 15 \text{ см}$.

Дано:

Расстояние от первого стержня до линзы, $d_1 = 15$ см

Расстояние от второго стержня до линзы, $d_2 = 75$ см

Фокусное расстояние линзы, $F = 40$ см

Высота изображения второго стержня, $H_2 = 15$ см

Высоты стержней одинаковы, $h_1 = h_2 = h$

Перевод в СИ:

$d_1 = 0.15$ м

$d_2 = 0.75$ м

$F = 0.40$ м

$H_2 = 0.15$ м

Найти:

Высоту изображения первого стержня, $H_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного (поперечного) увеличения.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $, где $F$ – фокусное расстояние линзы, $d$ – расстояние от предмета до линзы, а $f$ – расстояние от линзы до изображения.

Формула линейного увеличения $ \Gamma $: $ \Gamma = \frac{H}{h} = \left| \frac{f}{d} \right| $, где $H$ – высота изображения, $h$ – высота предмета.

Из формулы тонкой линзы выразим расстояние до изображения $f$:

$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{F \cdot d} $

Отсюда $ f = \frac{F \cdot d}{d - F} $.

Подставим полученное выражение для $f$ в формулу увеличения:

$ \Gamma = \left| \frac{f}{d} \right| = \left| \frac{F \cdot d}{d \cdot (d - F)} \right| = \left| \frac{F}{d - F} \right| $

Таким образом, высота изображения $H$ связана с высотой предмета $h$ следующим соотношением: $ H = h \cdot \Gamma = h \left| \frac{F}{d - F} \right| $.

Запишем это соотношение для обоих стержней. Поскольку по условию стержни одинаковые, их реальная высота $h$ одна и та же.

Для первого стержня: $ H_1 = h \left| \frac{F}{d_1 - F} \right| $.

Для второго стержня: $ H_2 = h \left| \frac{F}{d_2 - F} \right| $.

Поделим первое уравнение на второе, чтобы исключить неизвестную высоту $h$:

$ \frac{H_1}{H_2} = \frac{h \left| \frac{F}{d_1 - F} \right|}{h \left| \frac{F}{d_2 - F} \right|} = \left| \frac{F}{d_1 - F} \right| \cdot \left| \frac{d_2 - F}{F} \right| = \left| \frac{d_2 - F}{d_1 - F} \right| $

Отсюда выразим искомую высоту изображения первого стержня $H_1$:

$ H_1 = H_2 \left| \frac{d_2 - F}{d_1 - F} \right| $

Подставим числовые значения. Все величины даны в сантиметрах, и так как в итоговой формуле используется их отношение, переводить в систему СИ не обязательно.

$ H_1 = 15 \text{ см} \cdot \left| \frac{75 \text{ см} - 40 \text{ см}}{15 \text{ см} - 40 \text{ см}} \right| = 15 \cdot \left| \frac{35}{-25} \right| = 15 \cdot \frac{35}{25} $

Сократим дробь:

$ H_1 = 15 \cdot \frac{7}{5} = 3 \cdot 7 = 21 \text{ см} $

Ответ: высота изображения первого стержня составляет 21 см.