Номер 585, страница 175 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

585. На рисунке 167 показан график зависимости высоты изображения, полученного с помощью тонкой рассеивающей линзы, от расстояния между линзой и предметом. Определите оптическую силу линзы.

$H$, см

$d$, м

Рис. 167

Дано:

Из графика зависимости высоты изображения $H$ от расстояния до предмета $d$ для рассеивающей линзы выберем две точки для расчетов:
Точка 1: $d_1 = 2$ м, $H_1 = 0,5$ см
Точка 2: $d_2 = 6$ м, $H_2 = 0,25$ см

Перевод в систему СИ:
$H_1 = 0,5 \text{ см} = 0,005 \text{ м}$
$H_2 = 0,25 \text{ см} = 0,0025 \text{ м}$

Найти:

Оптическую силу линзы $D$.

Решение:

Формула тонкой линзы имеет вид: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D $, где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, а $D$ — оптическая сила линзы ($D=1/F$, где $F$ - фокусное расстояние).
Для рассеивающей линзы изображение всегда мнимое, поэтому расстояние до него $f$ принимается отрицательным. Оптическая сила $D$ и фокусное расстояние $F$ для рассеивающей линзы также являются отрицательными.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ определяется отношением высоты изображения $H$ к высоте предмета $h$:$ \Gamma = \frac{H}{h} $
Также увеличение равно модулю отношения расстояния от линзы до изображения к расстоянию от линзы до предмета:$ \Gamma = \frac{|f|}{d} $
Приравняв два выражения для увеличения, получим:$ \frac{H}{h} = \frac{|f|}{d} $, откуда $ |f| = \frac{H \cdot d}{h} $.

Подставим $f = -|f|$ в формулу тонкой линзы:$ \frac{1}{d} - \frac{1}{|f|} = D $
Теперь подставим выражение для $|f|$:$ \frac{1}{d} - \frac{1}{\frac{H \cdot d}{h}} = D $
$ \frac{1}{d} - \frac{h}{H \cdot d} = D $
$ D = \frac{H - h}{H \cdot d} $

Высота предмета $h$ и оптическая сила линзы $D$ — постоянные величины. Используя данные для двух точек с графика, составим систему уравнений:
Для точки 1 ($d_1, H_1$): $ D = \frac{H_1 - h}{H_1 \cdot d_1} $
Для точки 2 ($d_2, H_2$): $ D = \frac{H_2 - h}{H_2 \cdot d_2} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти неизвестную высоту предмета $h$:$ \frac{H_1 - h}{H_1 \cdot d_1} = \frac{H_2 - h}{H_2 \cdot d_2} $
Подставим числовые значения в СИ:$ \frac{0,005 - h}{0,005 \cdot 2} = \frac{0,0025 - h}{0,0025 \cdot 6} $
$ \frac{0,005 - h}{0,01} = \frac{0,0025 - h}{0,015} $
$ 0,015 \cdot (0,005 - h) = 0,01 \cdot (0,0025 - h) $
$ 0,000075 - 0,015h = 0,000025 - 0,01h $
$ 0,00005 = 0,005h $
$ h = \frac{0,00005}{0,005} = 0,01 \text{ м} $

Теперь, зная высоту предмета $h = 0,01$ м, можем вычислить оптическую силу $D$, подставив $h$ в уравнение для любой из точек. Возьмем данные первой точки:$ D = \frac{0,005 - 0,01}{0,005 \cdot 2} = \frac{-0,005}{0,01} = -0,5 \text{ дптр} $

Ответ: -0,5 дптр.