Номер 591, страница 176 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

591. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 45 \text{ мм}$ расположена между двумя точечными источниками света так, что их изображения совпадают. Определите расстояние между источниками света, если расстояния от источников света до линзы различаются в три раза.

Дано:

Фокусное расстояние собирающей линзы, $F = 45$ мм.

Линза расположена между двумя точечными источниками света.

Изображения источников совпадают.

Отношение расстояний от источников до линзы: $d_1 / d_2 = 3$.

Перевод в систему СИ:

$F = 45 \cdot 10^{-3}$ м $ = 0.045$ м.

Найти:

Расстояние между источниками света, $L$.

Решение:

Обозначим расстояния от источников света до линзы как $d_1$ и $d_2$. Согласно условию, одно расстояние в три раза больше другого, пусть $d_1 = 3d_2$. Поскольку линза находится между источниками, искомое расстояние между ними равно $L = d_1 + d_2$.

Условие совпадения изображений означает, что они находятся в одной и той же точке пространства. Так как источники расположены по разные стороны от линзы, для совпадения их изображений необходимо, чтобы одно изображение было действительным, а другое — мнимым. Только в этом случае они могут оказаться по одну сторону от линзы в одной точке. Действительное изображение формируется, когда предмет находится на расстоянии $d > F$ от собирающей линзы. Мнимое изображение — когда $d < F$.

Пусть источник на расстоянии $d_1$ создает действительное изображение на расстоянии $f$ от линзы, а источник на расстоянии $d_2$ — мнимое изображение на том же расстоянии $f$.

Запишем формулу тонкой линзы для каждого случая:

1. Для источника на расстоянии $d_1$, создающего действительное изображение:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

2. Для источника на расстоянии $d_2$, создающего мнимое изображение:

$\frac{1}{d_2} - \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Мы получили систему из двух уравнений. Сложим эти два уравнения:

$(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f}) + (\frac{1}{d_2} - \frac{1}{f}) = \frac{1}{F} + \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{2}{F}$

Теперь подставим в это уравнение соотношение $d_1 = 3d_2$:

$\frac{1}{3d_2} + \frac{1}{d_2} = \frac{2}{F}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1 + 3}{3d_2} = \frac{2}{F}$

$\frac{4}{3d_2} = \frac{2}{F}$

Отсюда выразим $d_2$:

$4F = 6d_2 \implies d_2 = \frac{4F}{6} = \frac{2F}{3}$

Теперь найдем $d_1$:

$d_1 = 3d_2 = 3 \cdot \frac{2F}{3} = 2F$

Проверим условия формирования изображений: $d_1 = 2F > F$, значит, изображение действительно действительное. $d_2 = \frac{2}{3}F < F$, значит, изображение действительно мнимое. Наши предположения верны.

Найдем расстояние $L$ между источниками:

$L = d_1 + d_2 = 2F + \frac{2F}{3} = \frac{6F + 2F}{3} = \frac{8F}{3}$

Подставим числовое значение фокусного расстояния $F = 45$ мм:

$L = \frac{8 \cdot 45 \text{ мм}}{3} = 8 \cdot 15 \text{ мм} = 120 \text{ мм}$

Ответ: 120 мм.