Номер 594, страница 177 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

594. Предмет находится на расстоянии $d = 10 \text{ см}$ от тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 20 \text{ см}$. Во сколько раз уменьшится высота изображения предмета, если на место собирающей линзы поставить рассеивающую линзу с таким же по модулю фокусным расстоянием?

Дано:

Расстояние от предмета до линзы, $d = 10$ см

Фокусное расстояние собирающей линзы, $F_1 = 20$ см

Фокусное расстояние рассеивающей линзы, $F_2 = -20$ см (по модулю такое же, как у собирающей, но для рассеивающей линзы оно отрицательное)

Перевод в систему СИ:

$d = 0.1$ м

$F_1 = 0.2$ м

$F_2 = -0.2$ м

Найти:

Во сколько раз уменьшится высота изображения, то есть отношение высоты изображения в первом случае ($H_1$) ко второму ($H_2$): $k = \frac{H_1}{H_2}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой для линейного увеличения.

Формула тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ показывает отношение высоты изображения $H$ к высоте предмета $h$: $\Gamma = \frac{H}{h} = \left|\frac{f}{d}\right|$. Отсюда высота изображения $H = h \cdot \left|\frac{f}{d}\right|$.

Рассмотрим оба случая.

1. Собирающая линза

Найдем расстояние до изображения $f_1$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F_1}$

$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d} = \frac{1}{20} - \frac{1}{10} = \frac{1 - 2}{20} = -\frac{1}{20}$ см^-1

$f_1 = -20$ см

Знак «минус» означает, что изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и предмет.

Теперь найдем высоту изображения $H_1$:

$H_1 = h \cdot \left|\frac{f_1}{d}\right| = h \cdot \left|\frac{-20}{10}\right| = h \cdot 2 = 2h$

2. Рассеивающая линза

Фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно: $F_2 = -20$ см. Найдем расстояние до изображения $f_2$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2}$

$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{d} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{10} = -\frac{1}{20} - \frac{2}{20} = -\frac{3}{20}$ см^-1

$f_2 = -\frac{20}{3}$ см

Изображение также мнимое.

Найдем высоту изображения $H_2$:

$H_2 = h \cdot \left|\frac{f_2}{d}\right| = h \cdot \left|\frac{-20/3}{10}\right| = h \cdot \left|-\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}h$

3. Найдем искомое отношение

Найдем, во сколько раз высота первого изображения больше второго:

$k = \frac{H_1}{H_2} = \frac{2h}{\frac{2}{3}h} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

Таким образом, высота изображения уменьшится в 3 раза.

Ответ: высота изображения предмета уменьшится в 3 раза.