Номер 588, страница 176 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

588. Определите отношение оптических сил двух тонких линз, если известно, что при расположении свечи на расстоянии $d_1$ от одной из них на экране получается изображение с линейным увеличением $\Gamma_1 = 4$, а при расположении свечи на расстоянии $d_2 = 2d_1$ от другой линзы размер изображения уменьшается вдвое.

Дано:

$\Gamma_1 = 4$

$d_2 = 2d_1$

$\Gamma_2 = 1/2$

Найти:

$\frac{D_1}{D_2}$

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ связана с её фокусным расстоянием $F$ соотношением $D = 1/F$. Формула тонкой линзы связывает эти величины с расстоянием от предмета до линзы $d$ и от линзы до изображения $f$:

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Модуль линейного увеличения $\Gamma$ определяется как $\Gamma = \left|\frac{f}{d}\right|$.

Для первой линзы известно, что изображение получается на экране, следовательно, оно действительное, и расстояние до него $f_1 > 0$. Линейное увеличение $\Gamma_1 = 4$.

Из формулы увеличения находим $f_1$: $\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1} = 4$, откуда $f_1 = 4d_1$.

Теперь можем найти оптическую силу первой линзы $D_1$:

$D_1 = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{4d_1} = \frac{4+1}{4d_1} = \frac{5}{4d_1}$

Для второй линзы расстояние до предмета $d_2 = 2d_1$, а модуль увеличения $\Gamma_2 = 1/2$. В условии задачи, в отличие от первого случая, не указано, что изображение является действительным. Уменьшенное изображение ($\Gamma < 1$) может быть как действительным (от собирающей линзы), так и мнимым (от рассеивающей линзы). Отсутствие упоминания экрана позволяет предположить, что изображение мнимое. В этом случае расстояние до изображения $f_2$ является отрицательным.

Из формулы увеличения: $\Gamma_2 = \left|\frac{f_2}{d_2}\right| = \frac{1}{2}$, откуда $|f_2| = \frac{d_2}{2}$.

Так как $f_2 < 0$, то $f_2 = -\frac{d_2}{2} = -\frac{2d_1}{2} = -d_1$.

Найдём оптическую силу второй линзы $D_2$:

$D_2 = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{2d_1} + \frac{1}{-d_1} = \frac{1-2}{2d_1} = -\frac{1}{2d_1}$

Наконец, найдём искомое отношение оптических сил:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{5/(4d_1)}{-1/(2d_1)} = \frac{5}{4d_1} \cdot (-2d_1) = -\frac{10}{4} = -2.5$

Ответ: -2.5