Номер 586, страница 175 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

586. Во сколько раз нужно уменьшить расстояние между предметом и тонкой линзой, чтобы линейное увеличение получаемых действительных изображений изменилось от $\Gamma_1 = 2$ до $\Gamma_2 = 4$?

Дано:

Начальное линейное увеличение $\Gamma_1 = 2$
Конечное линейное увеличение $\Gamma_2 = 4$
Изображения действительные.

Найти:

Отношение начального расстояния от предмета до линзы к конечному, $\frac{d_1}{d_2}$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.

Формула тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$
где $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f'$ – расстояние от линзы до изображения, а $F$ – фокусное расстояние линзы. Так как по условию изображение действительное, линза является собирающей, и $d > 0$, $f' > 0$, $F > 0$.

Формула линейного увеличения $\Gamma$:
$\Gamma = \frac{f'}{d}$
Из этой формулы выразим расстояние от линзы до изображения:
$f' = \Gamma \cdot d$

Теперь подставим выражение для $f'$ в формулу тонкой линзы, чтобы связать расстояние до предмета $d$ с увеличением $\Gamma$ и фокусным расстоянием $F$:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{\Gamma \cdot d} = \frac{1}{F}$

Приведем левую часть к общему знаменателю и выразим $d$:
$\frac{\Gamma + 1}{\Gamma \cdot d} = \frac{1}{F}$
$d = F \frac{\Gamma + 1}{\Gamma} = F(1 + \frac{1}{\Gamma})$

Данное соотношение показывает, как расстояние до предмета зависит от увеличения, которое мы хотим получить при неизменном фокусном расстоянии линзы.

Запишем это выражение для двух случаев, описанных в условии задачи:
1. Для начального увеличения $\Gamma_1 = 2$ расстояние до предмета равно $d_1$:
$d_1 = F \frac{\Gamma_1 + 1}{\Gamma_1} = F \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}F$

2. Для конечного увеличения $\Gamma_2 = 4$ расстояние до предмета равно $d_2$:
$d_2 = F \frac{\Gamma_2 + 1}{\Gamma_2} = F \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4}F$

Чтобы найти, во сколько раз нужно уменьшить расстояние, найдем отношение $d_1$ к $d_2$:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{\frac{3}{2}F}{\frac{5}{4}F} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{10} = 1.2$

Следовательно, чтобы увеличить линейное увеличение с 2 до 4, необходимо уменьшить расстояние от предмета до линзы в 1,2 раза.

Ответ: расстояние между предметом и линзой нужно уменьшить в 1,2 раза.