Номер 590, страница 176 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

590. Два точечных источника света находятся на расстоянии $l = 24$ см друг от друга. Между ними на расстоянии $d_1 = 6$ см от одного из них помещена тонкая собирающая линза. При этом изображения обоих источников получились в одной и той же точке. Определите фокусное расстояние линзы.

Дано:

$l = 24$ см

$d_1 = 6$ см

В системе СИ:
$l = 0.24$ м
$d_1 = 0.06$ м

Найти:

$F$ - ?

Решение:

Пусть два точечных источника света — это $S_1$ и $S_2$. Собирающая линза расположена между ними. Расстояние от первого источника $S_1$ до линзы равно $d_1 = 6$ см. Общее расстояние между источниками составляет $l = 24$ см, следовательно, расстояние от второго источника $S_2$ до линзы равно:

$d_2 = l - d_1 = 24 \text{ см} - 6 \text{ см} = 18 \text{ см}$

Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы. Для собирающей линзы $F > 0$. Расстояние до действительного изображения считается положительным ($f > 0$), а до мнимого — отрицательным ($f < 0$).

Запишем формулу для каждого из источников:

Для источника $S_1$: $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

Для источника $S_2$: $\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}$

Согласно условию, изображения обоих источников находятся в одной и той же точке. Поскольку источники расположены по разные стороны от линзы, для того чтобы их изображения совпали в пространстве, одно из них должно быть действительным, а другое — мнимым. Действительное изображение формируется на стороне, противоположной источнику, а мнимое — на той же стороне. Таким образом, оба изображения окажутся по одну сторону от линзы.

Это означает, что расстояния от линзы до изображений $f_1$ и $f_2$ должны быть равны по модулю, но иметь противоположные знаки. Пусть $f_0$ — это модуль этого расстояния. Тогда можно записать: $f_2 = f_0$ (действительное изображение) и $f_1 = -f_0$ (мнимое изображение).

Получим систему уравнений:

1) $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{-f_0} = \frac{1}{F}$

2) $\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_0} = \frac{1}{F}$

Так как правые части уравнений равны, приравняем их левые части:

$\frac{1}{d_1} - \frac{1}{f_0} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_0}$

Выразим $f_0$:

$\frac{2}{f_0} = \frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_2}$

Подставим числовые значения $d_1 = 6$ см и $d_2 = 18$ см:

$\frac{2}{f_0} = \frac{1}{6} - \frac{1}{18} = \frac{3-1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Отсюда находим $f_0$:

$f_0 = 18$ см

Теперь найдем фокусное расстояние $F$, подставив значение $f_0$ в любое из двух уравнений. Используем второе уравнение:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_0} = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Следовательно, фокусное расстояние линзы:

$F = 9$ см

Проверим: для $S_1$ расстояние до линзы $d_1=6$ см < $F=9$ см, значит, изображение мнимое. Для $S_2$ расстояние до линзы $d_2=18$ см > $F=9$ см, значит, изображение действительное. Это соответствует нашему предположению.

Ответ: Фокусное расстояние линзы равно 9 см.