Номер 587, страница 175 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

587. С помощью тонкой собирающей линзы получено действительное изображение предмета с линейным увеличением $\Gamma_1 = 6,5$. Каким станет увеличение, если расстояние между линзой и предметом увеличить в $\alpha = 1,2$ раза?

Дано:

Линейное увеличение в первом случае $Γ_1 = 6,5$

Коэффициент увеличения расстояния до предмета $α = 1,2$

Найти:

Линейное увеличение во втором случае $Γ_2$ - ?

Решение:

Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $F$ — фокусное расстояние линзы, $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение линзы $Γ$ определяется как отношение расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы:

$Γ = \frac{f}{d}$

Поскольку изображение действительное, $f > 0$. Линза собирающая, поэтому $F > 0$.

Для первого случая запишем:

$Γ_1 = \frac{f_1}{d_1} = 6,5$

Отсюда можно выразить расстояние до изображения $f_1$ через расстояние до предмета $d_1$: $f_1 = Γ_1 d_1 = 6,5 d_1$.

Подставим это выражение в формулу тонкой линзы, чтобы выразить фокусное расстояние $F$ (которое является постоянной характеристикой линзы):

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{Γ_1 d_1} = \frac{Γ_1 + 1}{Γ_1 d_1}$

Во втором случае расстояние от предмета до линзы увеличили в $α$ раз:

$d_2 = α d_1 = 1,2 d_1$

Запишем формулу тонкой линзы для второго случая с новым расстоянием до предмета $d_2$ и новым расстоянием до изображения $f_2$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2}$

Новое увеличение будет равно $Γ_2 = \frac{f_2}{d_2}$, откуда $f_2 = Γ_2 d_2 = Γ_2 α d_1$.

Подставим выражения для $d_2$ и $f_2$ в формулу линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{α d_1} + \frac{1}{Γ_2 α d_1} = \frac{Γ_2 + 1}{Γ_2 α d_1}$

Так как фокусное расстояние линзы не изменилось, мы можем приравнять выражения для $\frac{1}{F}$ из первого и второго случаев:

$\frac{Γ_1 + 1}{Γ_1 d_1} = \frac{Γ_2 + 1}{Γ_2 α d_1}$

Сократим $d_1$ в обеих частях уравнения:

$\frac{Γ_1 + 1}{Γ_1} = \frac{Γ_2 + 1}{Γ_2 α}$

Выразим из этого уравнения искомое увеличение $Γ_2$:

$α Γ_2 (Γ_1 + 1) = Γ_1 (Γ_2 + 1)$

$α Γ_1 Γ_2 + α Γ_2 = Γ_1 Γ_2 + Γ_1$

$α Γ_1 Γ_2 + α Γ_2 - Γ_1 Γ_2 = Γ_1$

$Γ_2(α Γ_1 + α - Γ_1) = Γ_1$

$Γ_2 = \frac{Γ_1}{α(Γ_1 + 1) - Γ_1}$

Теперь подставим числовые значения:

$Γ_2 = \frac{6,5}{1,2(6,5 + 1) - 6,5} = \frac{6,5}{1,2 \cdot 7,5 - 6,5} = \frac{6,5}{9 - 6,5} = \frac{6,5}{2,5} = \frac{65}{25} = 2,6$

Ответ: увеличение станет равно 2,6.