Номер 592, страница 176 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

592. Действительное изображение предмета, полученное с помощью тонкой собирающей линзы, находится от нее на расстоянии $f_1 = 8,0$ см. Собирающую линзу заменяют рассеивающей с таким же по модулю фокусным расстоянием. Определите модуль фокусного расстояния линз, если мнимое изображение предмета находится на расстоянии $f_2 = 2,0$ см от рассеивающей линзы.

Дано:

$f_1 = 8.0 \text{ см}$

$f_2 = 2.0 \text{ см}$

$f_1 = 0.080 \text{ м}$

$f_2 = 0.020 \text{ м}$

Найти:

$|F|$

Решение:

Формула тонкой линзы имеет вид: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы.

Согласно правилу знаков, для собирающей линзы фокусное расстояние $F$ положительно, а для рассеивающей — отрицательно. Для действительного изображения расстояние $f$ положительно, а для мнимого — отрицательно.

Пусть $|F|$ — искомый модуль фокусного расстояния. Тогда для собирающей линзы фокусное расстояние равно $|F|$, а для рассеивающей — $-|F|$.

1. Для случая с собирающей линзой. Изображение действительное, поэтому расстояние до него $f_1 = 8.0$ см. Расстояние от предмета до линзы обозначим как $d$. Уравнение тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{|F|}$ (1)

2. Для случая с рассеивающей линзой. Изображение мнимое, поэтому в формулу подставляем расстояние до него со знаком минус, то есть $-f_2 = -2.0$ см. Расстояние до предмета $d$ остается тем же. Уравнение тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{-f_2} = \frac{1}{-|F|}$

$\frac{1}{d} - \frac{1}{f_2} = -\frac{1}{|F|}$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $d$ и $|F|$. Выразим $\frac{1}{d}$ из уравнения (1):

$\frac{1}{d} = \frac{1}{|F|} - \frac{1}{f_1}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$(\frac{1}{|F|} - \frac{1}{f_1}) - \frac{1}{f_2} = -\frac{1}{|F|}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $|F|$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$\frac{1}{|F|} + \frac{1}{|F|} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$

$\frac{2}{|F|} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$

Отсюда выражаем $|F|$:

$|F| = \frac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}$

Подставим числовые значения:

$|F| = \frac{2 \cdot 8.0 \text{ см} \cdot 2.0 \text{ см}}{8.0 \text{ см} + 2.0 \text{ см}} = \frac{32.0 \text{ см}^2}{10.0 \text{ см}} = 3.2 \text{ см}$

Ответ: модуль фокусного расстояния линз равен $3.2$ см.